Аффинные преобразования

	Базовый уровень статей Выделить только проверенную информацию
	Создать черновик

Аффинные преобразования

Под преобразованием понимается отображение множества на себя. Другими словами, преобразование — это правило, в соответствии с которым каждому элементу множества ставится в соответствие элемент этого же множества.

Преобразование плоскости (пространства) называется аффинным, если существуют такие две аффинные системы координат, что координаты любой точки в первой системе координат совпадают с координатами ее образа во второй системе координат.

Аффинное преобразование можно рассматривать как последовательное применение (композицию) двух отображений:

1. Точке ставится в соответствие координаты относительно первой системы координат;
2. Полученным координатам ставится в соответствие точка относительно второй системы координат.

Пусть $f$ — аффинное преобразование. Рассмотрим вектор ${\overrightarrow {AB}}$ в первой системе координат и ${\overrightarrow {f(A)f(B)}}$ во второй. Так как координаты вектора определяются как разность координат конца и начала, а координаты точек $A$ и $f(A)$, $B$ и $f(B)$ равны в соответствующих системах координат, то вектор ${\overrightarrow {f(A)f(B)}}$ имеет те же координаты относительно второй системы координат, что и вектор ${\overrightarrow {AB}}$ относительно первой.

Таким образом в определении аффинного преобразования можно было рассматривать векторы вместо точек.

Пусть первая система координат задана своим репером $O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}$. Базисные векторы, отложенные от точки $O$ определяют некоторые точки $M_{i}$. Тогда, очевидно, вторая система координат определяется репером $O'\mathbf {e} '_{1}\mathbf {e} '_{2}\mathbf {e} '_{3}$, где $O'=f(O),\mathbf {e} '_{1}={\overrightarrow {O'f(M_{1})}},\mathbf {e} '_{2}={\overrightarrow {O'f(M_{2})}},\mathbf {e} '_{3}={\overrightarrow {O'f(M_{3})}}$.

Преобразование координат точки

Рассмотрим две аффинные системы координат, заданных своими реперами $O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}$ и $O'\mathbf {e} '_{1}\mathbf {e} '_{2}\mathbf {e} '_{3}$. Пусть координаты точки $O'$ и базисных векторов второго репера относительно первой системы координат выражаются следующим образом:

$O'=(x_{0},y_{0},z_{0})\quad \mathbf {e} '_{i}=\sum _{k=1}^{3}a_{ki}\mathbf {e} _{k}$

(1)

Рассмотрим произвольную точку $M$. Пусть ее координаты в первой и второй системах координат $(x,y,z)$ и $(x',y',z')$ соответственно. Определим как связаны между собой эти координаты. Очевидно,

${\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M}}$

По определению

${\overrightarrow {OM}}=\{x,y,z\}$ в первой системе координат

${\overrightarrow {OO'}}=\{x_{0},y_{0},z_{0}\}$ в первой системе координат

${\overrightarrow {O'M}}=\{x',y',z'\}$ во второй системе координат

Тогда ${\overrightarrow {OM}}=x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}=(x_{0}\mathbf {e} _{1}+y_{0}\mathbf {e} _{2}+z_{0}\mathbf {e} _{3})+(x'\mathbf {e} '_{1}+y'\mathbf {e} '_{2}+z'\mathbf {e} '_{3})$. Подставим выражение (1), после приведения подобных получим

${\overrightarrow {OM}}=x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}=(a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'+x_{0})\mathbf {e} _{1}+(a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'+y_{0})\mathbf {e} _{2}+(a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'+z_{0})\mathbf {e} _{3}$

Поскольку вектор ${\overrightarrow {OM}}$ однозначно представляется как линейная комбинация базисных векторов, то коэффициенты в левой и правой частях равенства должны быть одни и те же, то есть

${\begin{cases}x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'+x_{0}\\y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'+y_{0}\\z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'+z_{0}\end{cases}}$

Можно записать эту формулу в матричном виде

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}$

Аналогично можно вывести обратную формулу

${\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}}\left({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}\right)$

Матрица

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

называется матрицей преобразования координат. Формулу (1) можно переписать в виде

$O'=(x_{0},y_{0},z_{0})\quad \mathbf {e} '_{i}=A^{T}\mathbf {e} _{k}$

(1')

Поскольку базисные векторы линейно независимы, то матрица преобразования координат должна быть невырожденной (определитель не равен нулю).

Преобразование координат вектора

Пусть дан вектор с координатами относительно первой системы координат $\mathbf {a} =\{x,y,z\}$. Если приложить его к точке $O$ этот вектор определит точку $M=(x,y,z)$. Определим координаты преобразованного вектора относительно первой системы координат $\mathbf {a} '=f(\mathbf {a} )=\{x',y',z'\}$. В преобразованной системе координат точки $O$ и $M$ имеют координаты

$f(O)=A^{T}{\begin{pmatrix}-x_{0}\\-y_{0}\\-z_{0}\end{pmatrix}}\quad f(M)=A^{T}{\begin{pmatrix}x-x_{0}\\y-y_{0}\\z-z_{0}\end{pmatrix}}$

Таким образом, координаты вектора ${\overrightarrow {OM}}$ в преобразованной системе координат

$\mathbf {a} '={\overrightarrow {f(O)f(M)}}=A^{T}{\begin{pmatrix}x-x_{0}\\y-y_{0}\\z-z_{0}\end{pmatrix}}-A^{T}{\begin{pmatrix}-x_{0}\\-y_{0}\\-z_{0}\end{pmatrix}}=A^{T}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Таким образом,

$\mathbf {a} '=A^{T}\mathbf {a}$

Обратное преобразование

$\mathbf {a} =A\mathbf {a} '$

Изометрические преобразования

Аффинное преобразование называется изометрическим, если оно сохраняет расстояния между точками.

Рассмотрим любые три точки $A,B,C$, не лежащие на одной прямой. Пусть точки $A',B',C'$ получены из них при помощи изометрического преобразования. Так как расстояния между точками не изменилось, то $\triangle ABC=\triangle A'B'C'$ Отсюда следует, что изометрическое преобразование не меняет углы между прямыми.

Теорема Матрица изометрического преобразования ортогональна. Доказательство   Обозначим $f$ — изометрическое преобразование, $A$ — его матрица, $O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}$ — аффинная система координат, причем базисные векторы имеют единичную длину. Базисные векторы преобразованной системы координат, очевидно, равны $\mathbf {e} '_{i}=A\mathbf {e} _{i}$. Поскольку изометрическое преобразование не меняет углы, то $\mathbf {e} '_{i}\cdot \mathbf {e} '_{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$. Преобразуем $\mathbf {e} '_{i}\cdot \mathbf {e} '_{j}=(A\mathbf {e} _{i})\cdot (A\mathbf {e} _{j})=(A\mathbf {e} _{i})^{T}A\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}^{T}A^{T}A\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}^{T}\mathbf {e} _{j}$ Отсюда $A^{T}A=E$, то есть матрица $A$ ортогональна.

Преобразование ортогональных систем координат

Преобразование на плоскости

Преобразование в некоторой прямоугольной системе координат, заданное формулами

$x'=x+a,y'=-y$

называется скользящей симметрией.

Теорема Всякая изометрия плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом относительно некоторой точки, либо скользящей симметрией. Доказательство   Ортогональные матрицы 2×2 имеют один из следующих видов $A={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}},\;A={\begin{bmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{bmatrix}}$ Рассмотрим изометрии первого рода. Если $\varphi =0$, то $A=E$, это значит, что преобразование является параллельным переносом: ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}$ Если $\varphi \neq 0$, найдем неподвижные точки, то есть такие точки $P_{*}$, что $f(P_{*})=P_{*}$. ${\begin{cases}x_{*}=x'_{*}=x_{*}\cos \varphi -y_{*}\sin \varphi +x_{0}\\y_{*}=y'_{*}=x_{*}\sin \varphi +y_{*}\cos \varphi +y_{0}\end{cases}}$ ${\begin{cases}x_{*}(\cos \varphi -1)-y_{*}\sin \varphi =-x_{0}\\x_{*}\sin \varphi +y_{*}(\cos \varphi -1)=-y_{0}\end{cases}}$ Так как $\varphi \neq 0$ и $\cos \varphi \neq 1$, то определитель системы ${\begin{vmatrix}\cos \varphi -1&-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi -1\end{vmatrix}}=(\cos \varphi -1)^{2}+\sin ^{2}\varphi \neq 0$ Следовательно, неподвижная точка существует и единственна. Рассмотрим новую систему координат, заданную соотношениями ${\tilde {P}}=P-P_{*}$ то есть сдвинем начало координат в неподвижную точку. Тогда в первоначальной системе координат $P'=AP+P_{0}=A({\tilde {P}}+P_{*})+P_{0}=A{\tilde {P}}+\underbrace {AP_{*}+P_{0}} _{f(P_{*})=P_{*}}=A{\tilde {P}}+P_{*}$ В новой системе координат преобразование будет иметь вид ${\tilde {P}}'=P'-P_{*}=A{\tilde {P}}$ то есть преобразование является поворотом вокруг точки $P_{*}$. Теперь рассмотрим изометрии второго рода. Найдем неподвижные векторы, то есть такие векторы $\mathbf {u}$, что $f(\mathbf {u} )=\mathbf {u}$. ${\begin{cases}u_{x}=u'_{x}=u_{x}\cos \varphi +u_{y}\sin \varphi \\u_{y}=u'_{y}=u_{x}\sin \varphi -u_{y}\cos \varphi \end{cases}}$ ${\begin{cases}u_{x}(\cos \varphi -1)+u_{y}\sin \varphi =0\\u_{x}\sin \varphi -u_{y}(\cos \varphi +1)=0\end{cases}}$ (∗) При этом ${\begin{vmatrix}\cos \varphi -1&\sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi -1\end{vmatrix}}=1-\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi =0$ для любого угла $\varphi$. Значит существует ненулевое решение $\mathbf {u} =\{u_{x},u_{y}\}$. Рассмотрим новую систему координат с тем же началом, что и исходная, и базисными векторами ${\tilde {\mathbf {e} }}_{1}={\frac {1}{|\mathbf {u} |}}\{u_{x},u_{y}\},\;{\tilde {\mathbf {e} }}_{2}={\frac {1}{|\mathbf {u} |}}\{-u_{y},u_{x}\}$ Очевидно, координаты точек в новой и первоначальной системах координат связаны соотношением $P=C{\tilde {P}},C={\frac {1}{|\mathbf {u} |}}{\begin{bmatrix}u_{x}&-u_{y}\\u_{y}&u_{x}\end{bmatrix}}$ В первоначальной системе координат $P'=AP+P_{0}=AC{\tilde {P}}+P_{0}$ В новой системе координат ${\tilde {P}}'=C^{T}P'=C^{T}AC{\tilde {P}}+C^{T}P_{0}=K{\tilde {P}}+{\tilde {P}}_{0}$ Учитывая соотношение (∗) можно вычислить $K={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$ Таким образом в новой системе координат рассматриваемое преобразование имеет вид ${\begin{cases}{\tilde {x}}'={\tilde {x}}+a\\{\tilde {y}}'=-{\tilde {y}}+b\end{cases}}$ Сдвинем систему координат: ${\bar {P}}={\tilde {P}}-{\begin{pmatrix}0\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}$ Тогда в системе координат с тильдой ${\tilde {P}}'=KP+{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=K\left({\bar {P}}+{\begin{pmatrix}0\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}\right)+{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=K{\bar {P}}+{\begin{pmatrix}a\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}$ В системе координат с чертой преобразование будет иметь вид ${\bar {P}}'={\tilde {P}}'-{\begin{pmatrix}0\\{\frac {b}{2}}\end{pmatrix}}=K{\bar {P}}+{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}$ то есть преобразование является скользящей симметрией.

Преобразования в пространстве

Преобразования, заданные формулами

$x'=-x,y'=y+b,z'=-z,\quad x'=x+a,y'=y+b,z'=-z,\quad x'=-x,y'=y\cos \varphi -z\sin \varphi ,z'=y\sin \varphi +z\cos \varphi$

называются винтовым вращением, скользящей симметрией и зеркальным вращением соответственно.

Теорема Всякая изометрия пространства является одним из следующих преобразований: винтовое вращение скользящая симметрия зеркальное вращение Доказательство   Любую ортогональную матрицу можно привести к виду $A={\begin{bmatrix}\pm 1&{\begin{matrix}0&0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}&G\end{bmatrix}}$ где $G$ — ортогональная матрица 2×2. Далее необходимо рассмотреть несколько случаев $\det G=1$. Тогда $G={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}$ $\varphi =0$ Если $\det A=1$, то матрица $A$ соответствует параллельному переносу (частный случай винтового вращения) Если $\det A=-1$, то при помощи сдвига как в предыдущей теореме доказывается, что преобразование — скользящая симметрия. Если $\varphi \neq 0$, то можно найти неподвижную точку $(0,y_{*},z_{*})$, при помощи сдвига в нее доказывается, что преобразование — винтовое или зеркальное вращение в зависимости от знака. $\det G=-1$ Тогда можно выбрать такие орты, что $G={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$ Таким образом первоначальная матрица приводится к одному из двух видов $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$ Сдвинув систему координат как в предыдущей теореме, доказываем, что преобразование является либо скользящей симметрией, либо винтовым вращением.