Материал из Викиверситета
Векторное произведение [ править ] Векторным произведением двух векторов
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
c
=
a
×
b
{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }
|
c
|
=
|
a
|
|
b
|
sin
(
a
,
b
^
)
{\displaystyle |\mathbf {c} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})}
вектор
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
тройка
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}
Свойства векторного произведения
Площадь параллелограмма равна векторному произведению Векторы
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
×
b
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} }
Из определения следует, что равенство нулю векторного произведения эквивалентно либо равенству нулю одного из сомножителей (а нулевой вектор коллинеарен всем остальным), либо равенству нулю синуса угла между векторами.
Поскольку любой вектор коллинеарен самому себе, то
a
×
a
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} }
Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Следует из определения.
Пусть
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
(
a
,
b
,
e
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {e} )}
S
Π
(
a
,
b
)
{\displaystyle S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
×
b
=
S
Π
(
a
,
b
)
e
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}\mathbf {e} }
Антикоммутативность:
a
×
b
=
−
b
×
a
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }
Ассоциативность относительно умножения на скаляр:
(
k
a
)
×
b
=
k
(
a
×
b
)
=
a
×
(
k
b
)
{\displaystyle (k\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (k\mathbf {b} )}
Дистрибутивность по сложению:
(
a
1
+
a
2
)
×
b
=
a
1
×
b
+
a
2
×
b
{\displaystyle (\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2})\times \mathbf {b} =\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {b} }
Тождество Якоби:
(
a
×
b
)
×
c
+
(
b
×
c
)
×
a
+
(
c
×
a
)
×
b
=
0
{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} +(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\times \mathbf {a} +(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {0} }
Тождество Лагранжа:
a
×
(
b
×
c
)
=
b
(
a
⋅
c
)
−
c
(
a
⋅
b
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}
Для запоминания используют мнемоническое правило «БАЦ минус ЦАБ» Векторное произведение в ортонормированной системе координат [ править ] Пусть заданы координаты двух векторов
a
=
{
a
1
,
a
2
,
a
3
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}}
b
=
{
b
1
,
b
2
,
b
3
}
{\displaystyle \mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}}
a
×
b
=
(
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
)
×
(
b
1
e
1
+
b
2
e
2
+
b
3
e
3
)
=
=
a
1
b
1
e
1
×
e
1
+
a
2
b
2
e
2
×
e
2
+
a
3
b
3
e
3
×
e
3
⏟
0
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
e
1
×
e
2
⏟
e
3
+
(
a
1
b
3
−
a
3
b
1
)
e
1
×
e
3
⏟
−
e
2
+
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
e
2
×
e
3
⏟
e
1
=
=
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
e
1
−
|
a
1
a
3
b
1
b
3
|
e
2
+
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
e
3
=
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
e
1
+
|
a
3
a
1
b
3
b
1
|
e
2
+
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
e
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3})\times (b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3})=\\&=\underbrace {a_{1}b_{1}\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{1}+a_{2}b_{2}\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{2}+a_{3}b_{3}\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{3}} _{\mathbf {0} }+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\underbrace {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}} _{\mathbf {e} _{3}}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\underbrace {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}} _{-\mathbf {e} _{2}}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\underbrace {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}} _{\mathbf {e} _{1}}=\\&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}
Таким образом, координаты векторного произведения в ортонормированной системе координат
a
×
b
=
{
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
,
|
a
3
a
1
b
3
b
1
|
,
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
}
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\{{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\right\}}
Модуль векторного произведения (и площадь параллелограмма)
|
a
×
b
|
=
S
=
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
2
+
|
a
1
a
3
b
1
b
3
|
2
+
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
2
{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=S={\sqrt {{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}
