Вращение в одной системе координат

Необходимые предварительные знания

• Нормализация вектора
• Векторное произведение векторов (практика)
• Найти угол между векторами

Матрицы поворотов в трёхмерном пространстве

• Матрицами вращения вокруг оси декартовой правой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

• Вращение вокруг оси x:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$,

• Вращение вокруг оси y:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$,

• Вращение вокруг оси z:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$,

Программный код вращения на угол α в трёхмерном пространстве  

public static xyzMatrix X_rot_rad(float alpha) // radians
{
	float cosA = (float)Math.Cos(alpha);
	float sinA = (float)Math.Sin(alpha);
	return new xyzMatrix(
		1.0f, 0.0f, 0.0f,
		0.0f, cosA, -sinA,
		0.0f, sinA, cosA);
}

public static xyzMatrix Y_rot_rad(float alpha) // radians
{
	float cosA = (float)Math.Cos(alpha);
	float sinA = (float)Math.Sin(alpha);
	return new xyzMatrix(
		cosA, 0.0f, sinA,
		0.0f, 1.0f, 0.0f,
		-sinA, 0.0f, cosA);
}

public static xyzMatrix Z_rot_rad(float alpha) // radians
{
	float cosA = (float)Math.Cos(alpha);
	float sinA = (float)Math.Sin(alpha);

	return new xyzMatrix(
		cosA, -sinA, 0.0f,
		sinA, cosA, 0.0f,
		 0.0f, 0.0f, 1.0f);
}

Матрица переходов

• Матрица перехода — это композиция поворотов

Формула поворота Родригеса

Формула поворота Родригеса — это матрица поворота, которая позволяет осуществить поворот на произвольный угол вокруг произвольной оси.

• Rodrigues' Rotation Formula
• w:en:Rodrigues' rotation formula