Линейные операции над векторами/Задачи

Примеры решения задач

Пример 1

Векторы ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {BD}}=\mathbf {b}$ являются диагоналями параллелограмма $ABCD$. Выразить векторы ${\overrightarrow {AB}}$, ${\overrightarrow {BC}}$, ${\overrightarrow {CD}}$ и ${\overrightarrow {DA}}$ через векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.

По определению сложения

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$

${\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {BD}}$

По свойствам параллелограмма

${\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {BA}}$

${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}$

Тогда

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}=\mathbf {a}$

$-{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}=\mathbf {b}$

Откуда

${\overrightarrow {AB}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {b} )$

${\overrightarrow {BC}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )$

По свойствам параллелограмма

${\overrightarrow {CD}}=-{\overrightarrow {AB}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} -\mathbf {a} )$

${\overrightarrow {DA}}=-{\overrightarrow {BC}}=-{\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )$

Пример 2

В треугольнике $\triangle ABC$ проведены медианы $AD$, $BE$ и $CF$. Представить векторы ${\overrightarrow {AD}}$, ${\overrightarrow {BE}}$ и ${\overrightarrow {CF}}$ в виде линейных комбинаций векторов ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {AC}}$.

Найдём вектор ${\overrightarrow {BC}}$.

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$ откуда ${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}$

${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AC}}$

${\overrightarrow {BE}}={\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AE}}=-{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AC}}$

${\overrightarrow {CF}}={\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {AF}}=-{\overrightarrow {AC}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}}$

Пример 3

Дан тетраэдр $OABC$. Выразить вектор ${\overrightarrow {EF}}$ через стороны ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ и ${\overrightarrow {OC}}$. Точка $E$ -- середина ребра $OA$, $F$ -- середина ребра $BC$.

Найдём вектор ${\overrightarrow {CB}}$.

${\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {OB}}$ откуда ${\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OC}}$

Очевидно,

${\begin{aligned}{\overrightarrow {EF}}&={\overrightarrow {EO}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CF}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OC}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {CB}}=-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}}+{\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OC}})=\\&=-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {OB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {OC}}\end{aligned}}$

Задачи для самостоятельного решения

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

1. Точки $K$ и $L$ -- середины сторон $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$. Выразить векторы ${\overrightarrow {BC}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ через векторы ${\overrightarrow {AK}}$, ${\overrightarrow {AL}}$.
2. В трапеции $ABCD$ отношение ${\tfrac {|{\overrightarrow {AD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}=\lambda$. Обозначив ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {BD}}=\mathbf {b}$, выразить векторы ${\overrightarrow {AB}}$, ${\overrightarrow {BC}}$, ${\overrightarrow {CD}}$ и ${\overrightarrow {DA}}$ через $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.
3. В трапеции $ABCD$ отношение ${\tfrac {|{\overrightarrow {AD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}=\lambda$. Обозначив ${\overrightarrow {AD}}=\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b}$, выразить векторы ${\overrightarrow {AB}}$, ${\overrightarrow {BC}}$, ${\overrightarrow {CD}}$, ${\overrightarrow {DA}}$, ${\overrightarrow {AC}}$ и ${\overrightarrow {BD}}$ через $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.
4. В треугольнике $\triangle ABC$ проведены медианы $AD$, $BE$ и $CF$. Найти сумму векторов ${\overrightarrow {AD}}$, ${\overrightarrow {BE}}$ и ${\overrightarrow {CF}}$.
5. В плоскости треугольника $\triangle ABC$ найти такую точку $M$, что ${\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MC}}=\mathbf {0}$.
6. Дан тетраэдр $OABC$. Выразить вектор ${\overrightarrow {EF}}$ через стороны ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ и ${\overrightarrow {OC}}$. Точка $E$ -- середина ребра $OA$, $F$ -- точка пересечения медиан треугольника $\triangle ABC$.