Объем параллелепипеда

Материал из Викиверситета
Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Объем параллелепипеда[править]

Любой параллелепипед однозначно задается векторами , и .

Найдем выражение объема через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Объем параллелепипеда определяется по формуле , где — угол между векторами и , а — угол между вектором и перпендикуляром к плоскости, в которой лежат и .

Пусть координаты векторов . В ортонормированном базисе

Рассмотрим выражение . Это выражение называют определителем трехмерной матрицы и обозначают .

В этих обозначениях векторное произведение можно записать в виде .

Можно показать, что аналогично плоскому случаю знак совпадает с ориентацией тройки .

Величина, по модулю совпадающая с объемом параллелепипеда, а по знаку — с ориентацией тройки векторов, определяющих его, называется ориентированным объемом параллелепипеда. В ортонормированной системе координат ориентированный объем вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелепипед.