Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

Любой параллелограмм $OACB$ однозначно задается векторами $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$ и $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$. Будем обозначать параллелограмм, определяемый векторами $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, символом $\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$

Найдем выражение площади через координаты векторов в ортонормированном базисе. (В произвольном базисе выражения получаются громоздкими и не несут полезной информации.)

Площадь параллелограмма определяется по формуле $S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами.

$S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \varphi =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |{\sqrt {1-\cos ^{2}\varphi }}=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |{\sqrt {1-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}{|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}}}}}={\sqrt {|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}$

Пусть координаты векторов $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\}$ $\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2}\}$. В ортонормированном базисе

$|\mathbf {a} |^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},\quad |\mathbf {b} |^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2},\quad \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$

$S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}={\sqrt {a_{1}^{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}-a_{1}^{2}b_{1}^{2}-2a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}-a_{2}^{2}b_{2}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}b_{2}^{2}-2a_{1}b_{2}a_{2}b_{1}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}}}=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$

Рассмотрим выражение $S'=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$. Это выражение называют определителем двумерной матрицы и обозначают $\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$.

В ортонормированной системе координат

$a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \alpha$

$a_{2}=|\mathbf {a} |\sin \alpha$

$b_{1}=|\mathbf {b} |\cos \beta$

$b_{2}=|\mathbf {b} |\sin \beta$

$S'=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |(\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\beta -\alpha )$

где $\alpha$ и $\beta$ — углы между первым базисным вектором и векторами $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ соответственно, отсчитываемые в положительном направлении, заданном базисными векторами.

Если $S'=0$, то $\beta =\alpha$, векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ коллинеарны.

Если $S'>0$, то $\sin(\beta -\alpha )>0$ и угол $\beta -\alpha$ лежит в промежутке $(0,\pi )$. Это означает, что векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ ориентированны положительно относительно базиса.

Аналогично, если $S'<0$, то векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ ориентированны отрицательно относительно базиса.

Величина, по модулю совпадающая с площадью параллелограмма, а по знаку — с ориентацией пары векторов, определяющих его, называется ориентированной площадью параллелограмма. В ортонормированной системе координат ориентированная площадь вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелограмм.