Скалярное произведение векторов/Задачи

Материал из Викиверситета
Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Примеры решения задач[править]

Вычисление скалярного произведения[править]

В простейшем случае известны координаты векторов в ортонормированной системе координат. Тогда скалярное произведение вычисляется как сумма произведения одноименных координат.

Смотри также Скалярное произведение векторов

Пример 1[править]

В равностороннем треугольнике длины сторон равны 1. Вычислить .

Пример 2[править]

Даны два неколлинеарных вектора и . Найти вектор компланарный векторам и и удовлетворяющий системе уравнений

Поскольку векторы и неколлинеарны, то они образуют базис на плоскости. Любой компланарный им вектор можно представить в виде

Поэтому исходную систему можно переписать в виде

Решение этой системы

Таким образом искомый вектор

Геометрический смысл скалярного произведения[править]

Длина вектора связана со скалярным произведением формулой . Если вектор задан своими координатами в ортонормированной системе координат, то .

Таким образом

Смотри также Длина вектора

Во многих случаях необходимо получить единичный вектор , имеющий то же направление, что и заданный ненулевой вектор . Эта задача называется нормализацией вектора. Поскольку искомый вектор имеет то же направление, то .



Откуда

Смотри также Нормализация вектора

Угол между ненулевыми векторами связан со скалярным произведением формулой

Если векторы заданы своими координатами и в ортонормированной системе координат,

Смотри также Найти угол между векторами

Пример 3[править]

Дан параллелограмм . Длины его сторон , угол . Вычислить длину диагонали параллелограмма и найти косинусы углов между диагональю и сторонами параллелограмма.

Очевидно . Поэтому длина диагонали

Углы между диагональю и сторонами

Задачи для самостоятельного решения[править]

  1. В треугольнике проведены медианы . Вычислить .
  2. Даны три некомпланарных вектора , и . Найти вектор , удовлетворяющий системе уравнений
  3. Вычислить длину диагонали параллелепипеда и найти косинусы углов, образуемых диагональю с рёбрами , если известны длины его рёбер , , и углы , , .