Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности

Материал из Викиверситета

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть ограниченная последовательность. Тогда  : , .

Рассмотрим множество таких вещественных чисел , что правее каждого из этих лежит не более,чем конечное число элементов последовательности . Множество таких не пусто, т.к. . Кроме того, множество таких элементов ограничено снизу любым числом, меньшим

,

.

Докажем, что является частичным пределом последовательности . Зададим произвольное  ; правее числа лежит бесконечно много элементов последовательности . По определению .

По определению множества элементов правее элемента лежит не более, чем конечное число элементов последовательности, а значит, на полуинтервале (] бесконечно много элементов последовательности.

Тем более в окрестности () содержится бесконечно много элементов последовательности. Это означает, что - частичный предел последовательности, т.е. есть подпоследовательность, которая сходится.