Алгебра (8 класс)/Действия с алгебраическими дробями

1. Основное свойство дроби

Значение алгебраической дроби не меняется, если умножить ее числитель и знаменатель на один и тот же многочлен, отличный от нуля.

Например: $\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{A(x)\ast M(x)}{B(x)\ast M(x)},M(x)\ne 0$

2. Сокращение дробей

Перепишем последнее равенство в обратном порядке, переставив между собой правую и левую части:

$\frac{A(x)\ast M(x)}{B(x)\ast M(x)}=\frac{A(x)}{B(x)},M(x)\ne 0$

Если ее числитель и знаменатель алгебраической дроби разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь тождественно равная данной.

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{A(x)}{B(x)}+\frac{C(x)}{B(x)}=\frac{A(x)+C(x)}{B(x)}$

4. Сложение и вычитание с разными знаменателями

Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:

найти общий знаменатель,

привести алгебраические дроби к общему знаменателю,

выполнить сложение или вычитание, $\frac{A(x)}{B(x)}+\frac{C(x)}{D(x)}=\frac{A(x)\ast D(x)+C(x)\ast B(x)}{B(x)\ast D(x}$

сократить полученную дробь, если это возможно.

5. Умножение дробей

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую,

надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата)

и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата). $\frac{A(x)}{B(x)}\ast \frac{C(x)}{D(x)}=\frac{A(x)\ast C(x)}{B(x)\ast D(x)}$

6. Деление дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.

$\frac{A(x)}{B(x)}:\frac{C(x)}{D(x)}=\frac{A(x)}{B(x)}\ast \frac{D(x)}{C(x)}=\frac{A(x)\ast D(x)}{B(x)\ast C(x)}$