Алгебра (8 класс)/Описание и свойства

Неравенство — это отношение, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком

• < (меньше),
• > (больше),
• $\leq$ (меньше или равно),
• $\geq$ (больше или равно).

То есть, неравенством можно назвать сравнение чисел, переменных или выражений.

Знаки <, >, $\leq$ и $\geq$ называются знаками неравенства.

Определение: $a>b$ истинно в том и только в том случае, когда разность $a-b$ положительна, и ложно (то есть $a<b$), когда разность a - b отрицательна.

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений

Подобно равенствам неравенства бывают тождественными (верными при всех значениях букв, входящих в них) и подобно уравнениям верными только при некоторых значениях неизвестных

Например, неравенство ${{\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$ верно при всех положительных значениях $a$ и $b$, тогда как $3x+2<x+10$ верно только для $x<4$

Вот главные свойства, которые применяются при решении неравенств:

• Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Например, если $a\lesseqgtr b$, то ${a\pm c}\lesseqgtr {b\pm c}$

• При переносе выражения из одной части неравенства в другую знак выражения будет изменяться, то есть:

${a\lesseqgtr b}\iff {a-b\lesseqgtr 0}\iff {0\lesseqgtr b-a}$