Основы гамильтоновой механики

Гамильтонова механика — формулировка классической механики, разработанная Уильямом Гамильтоном в 1833 году. В отличие от лагранжева подхода, использует обобщённые импульсы вместо скоростей, что делает её особенно полезной для квантовой механики и статистической физики.

Основные понятия

Фазовое пространство: система описывается координатами $q_{i}$ и импульсами $p_{i}$
Гамильтониан: функция полной энергии системы:

  $H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

Уравнения Гамильтона:

  ${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

Сравнение с лагранжевой механикой

| Критерий | Лагранжев подход | Гамильтонов подход | |----------------|-----------------------|------------------------| | Переменные | $q_{i},{\dot {q}}_{i}$ | $q_{i},p_{i}$ | | Уравнения | Уравнения Эйлера-Лагранжа | Уравнения Гамильтона | | Применение | Релятивистская механика | Квантовая механика |

Примеры систем

1. Гармонический осциллятор:

   $H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kx^{2}}{2}}$

2. Движение в центральном поле:

   $H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)$

Историческая справка

1833 — У. Гамильтон представил свою теорию
1843 — К. Якоби развил математический аппарат
20 век — Стала основой для квантовой механики

Литература

Голдстейн Г. "Классическая механика" — М.: Наука, 1975
Арнольд В.И. "Математические методы классической механики" — 5-е изд., 2003
Фундаментальные работы на arXiv

См. также