Понятие сходящейся последовательности

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
Определение. Говорят, что последовательность является сходящейся, если  : - бесконечно малая последовательность. Число в этом случае называется пределом последовательности .


Определение. Число a называется пределом последовательности (пишут ), если


Теорема о единственности предела.  Если - сходящаяся, то предел единственный.
Доказательство. Пусть для определённости имеем:

.

Получили противоречие предел единственный.


Доказательство. Пусть при

- бесконечно малая последовательность. Положим , , - бесконечно малая последовательность.

Предположим, что , где - бесконечно малая последовательность.

, .


Теорема. Сходящиеся последовательности ограничены.
Доказательство. Пусть при

, - бесконечно малая последовательность.

, где , .