Программирование и научные вычисления на языке Python/§2/Приложение: модули math и cmath

Чтобы вы знали о встроенных математических возможностях Python отдельным приложением к уроку 2 служит полный перечень функций модулей math и cmath. Если вы что-то забудете из приведенного, вы всегда можете импортировать модуль в интерпретаторе и набрать команды справки help(something), где в качестве something может стоять имя модуля, функции и т. д.

math

Модуль math всегда доступен и обеспечивает доступ к математическим функциям.

Данные функции неприменимы к комплексным числам, для работы с комплексными числами имеются функции с теми же именами в модуле cmath.

Модуль содержит следующие функции. Во всех случаях, кроме особо оговоренных, функции возвращают число типа float.

Теоретико-численные функции и функции представления

• math.ceil(x)
  • Возвращает округленное x как ближайшее целое значение типа float, большее или равное x (округление «вверх»).

• math.copysign(x, y)
  • Возвращает число x со знаком числа y. На платформе, поддерживающей знак нуля copysign(1.0, -0.0) даст -1.0.

• math.fabs(x)
  • Возвращает абсолютное значение (модуль) числа x. В Python есть встроенная функция abs, но она возвращает модуль числа с тем же типом, что число, здесь же всегда float abs (fabs).

• math.factorial(x)
  • Возвращает факториал целого числа x, если x не целое возбуждается ошибка ValueError.

• math.floor(x)
  • В противоположность ceil(x) возвращает округленное x как ближайшее целое значение типа float, меньшее или равное x (округление «вниз»).

• math.fmod(x, y)
  • Аналогична функции fmod(x, y) библиотеки C. Отметим, что это не то же самое, что выражение Python x%y. Желательно использовать при работе с объектами float, в то время как x % y больше подходит для int.

• math.frexp(x)
  • Представляет число в экспоненциальной записи $x=m*2^{e}$ и возвращает мантиссу $m$ (действительное число, модуль которого лежит в интервале от 0,5 до 1) и порядок $e$ (целое число) как пару чисел (m, e). Если x=0, то возвращает (0.0, 0)

• math.fsum(iterable)
  • Возвращает float сумму от числовых элементов итерируемого объекта.

• math.isinf(x)
  • Проверяет, является ли float объект x плюс или минус бесконечностью, результат соответственно True или False.

• math.isnan(x)
  • Проверяет, является ли float объект x объектом NaN (not a number).

• math.ldexp(x, i)
  • Возвращает значение $x*2^{i}$, то есть осуществляет действие, обратное функции math.frexp(x).

• math.modf(x)
  • Возвращает часть, идущую после запятой и целую часть от float числа. Оба результата сохраняют знак исходного числа x и представлены типом float.

• math.trunc(x)
  • Возвращает целую часть числа x в виде int объекта.

Степенные и логарифмические функции

• math.exp(x)
  • Возвращает $e^{x}$.

• math.log(x[, base])
  • При передаче функции одного аргумента x, возвращает натуральный логарифм x. При передаче двух аргументов, второй берется как основание логарифма.

• math.log1p(x)
  • Возвращает натуральный логарифм от $x+1$.

• math.log10(x)
  • Возвращает десятичный логарифм x.

• math.pow(x, y)
  • Возвращает $x^{y}$.

• math.sqrt(x)
  • Квадратный корень (square root) из x.

Тригонометрические функции

• math.acos(x)
  • Возвращает арккосинус x, в радианах.

• math.asin(x)
  • Возвращает арксинус x, в радианах.

• math.atan(x)
  • Возвращает арктангенс x, в радианах.

• math.atan2(y, x)
  • Возвращает atan(y/x), в радианах. Результат лежит в интервале $\left[-\pi ,\pi \right]$. Вектор, конец, которого задается точкой (x, y) образует угол с положительным направлением оси x. Поэтому эта функция имеет более общее назначение, чем предыдущая. Например и atan(1), и atan2(1, 1) дадут в результате pi/4, но atan2(-1, -1) это уже -3*pi/4.

• math.cos(x)
  • Возвращает косинус x, где x выражен в радианах.

• math.hyp(x, y)
  • Возвращает евклидову норму, то есть sqrt(x**2+y**2). Удобно для вычисления гипотенузы (hyp) и длины вектора.

• math.sin(x)
  • Возвращает синус x, где x выражен в радианах.

• math.tan(x)
  • Возвращает тангенс x, где x выражен в радианах.

Радианы в градусы и наоборот

• math.degrees(x)
  • Конвертирует значение угла x из радиан в градусы.

• math.radians(x)
  • Конвертирует значение угла x из градусов в радианы.

Гиперболические функции

Смысл ясен из названий и соответствует стандартным обозначениям англоязычной литературы:

• math.acosh(x)
• math.asinh(x)
• math.atanh(x)
• math.cosh(x)
• math.sinh(x)
• math.tanh(x)

Константы

• math.pi
  • 3.1415926535897931

• math.e
  • 2.7182818284590451

cmath

Этот модуль всегда доступен и позволяет проводить операции над комплексными числами. При этом функции модуля поддерживают работу не только с комплексными, но и с целыми числами и числами с плавающей запятой

Причина, по которой имеются два таких схожих модуля, в том, что многим пользователям не нужны комплексные числа или они просто не знают что это такое. В этих случаях будет даже лучше, если при math.sqrt(-1) будет возбуждено исключение, чем будет найдено комплексное решение. При этом отметим, что функции в модуле всегда возвращают комплексное число, даже если исходные числа не содержат мнимой части.

Переход к полярным координатам и обратно

Комплексное число z может быть представлено в Декартовой системе координат в представлении, что действительная z.real часть откладывается по оси x, а мнимая z.imag — по оси y. Само число z записывается:

z = z.real + z.imag*1j

Полярные координаты позволяют представить комплексное число другим образом — в виде радиуса $\rho$ и фазового угла $\phi$. Координата $\rho$ определяет расстояние от точки до полюса, координата $\phi$ — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку.

Следующие функции могут быть использованы для перехода от исходных прямоугольных координат к полярным:

• cmath.phase(x)
  • Возвращает фазовый угол $\phi$ для числа x, phase(x) эквивалентно math.atan2(x.imag, x.real). Результат лежит в интервале $\left[-\pi ,\pi \right]$.

• cmath.polar(x)
  • Возвращает представление x в полярных координатах, то есть возвращает пару (r, phi).

• cmath.rect(r, phi)(x)
  • Возвращает обычное комплексное представление x из представления в полярных координатах.

Другие функции

Модуль содержит также ряд функций, с которыми мы ознакомились в модуле math, имеющими то же применение не только к действительным, но и к комплексным числам:

Степенные и логарифмические функции

• cmath.exp(x)
• cmath.log(x [,base])
• cmath.log10(x)
• cmath.sqrt(x)

Тригонометрические функции

• cmath.acos(x)
• cmath.asin(x)
• cmath.atan(x)
• cmath.cos(x)
• cmath.sin(x)
• cmath.tan(x)

Гиперболические функции

• cmath.acosh(x)
• cmath.asinh(x)
• cmath.atanh(x)
• cmath.cosh(x)
• cmath.sinh(x)
• cmath.tanh(x)

Классифицирующие функции

• cmath.isinf(x)
• cmath.isnan(x)

Константы

• cmath.pi
• cmath.e

Изучив, данный раздел, мы можем приступить к третьему уроку данного курса, посвященному циклу и последовательностям.

Ссылки

• Документация по math
• Документация по cmath