Свойства бесконечно малых последовательностей

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и - бесконечно малые последовательности.

 : ,

 : ,

,  :

2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо надо взять .

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. { , , ..., }

 : .

4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

бесконечно малая, - ограниченная.

 : ,

 : ,

 :

.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Доказательство.

- бесконечно малая последовательность.

При выполнено, что . Предположим, .

Рассмотрим .  : .

Положим , , тогда при , - противоречие, значит, .

6 (а). Если - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность , причём она является бесконечно малой.

6 (б). Если - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность , причём она является бесконечно большой.

Доказательство.  : .

Из этого видно, что начиная с определённого номера , а это значит, что последовательность определена.

- бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.