Теорема о существовании точной грани непустого ограниченного числового множества

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение. Если для подмножества  : , то множество называется ограниченным сверху, а число - числом, ограничивающим сверху множество .

Множество ограниченно сверху  : .


Определение. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Множество не ограниченно сверху .


Определение. Если для подмножества , то множество называется ограниченным снизу, а число - числом, ограничивающим снизу множество .

Множество ограниченно снизу .


Определение. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

Множество не ограниченно снизу .


Определение. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным, называется не ограниченным множеством.


Определение. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество , называется его верхней гранью и обозначается через или .

- верхняя грань множества и .


Определение. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество , называется его нижней гранью и обозначается через или .

- нижняя грань множества и .


Пример. , где .


Теорема. ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть - ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через множество всех чисел, ограничивающих сверху множество . Множество ограничено сверху, поэтому множество не пусто. Каждый элемент ограничивает сверху множество , т.е. . Элементы и являются произвольными элементами соответственно множеств и , поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, и имеет место неравенство .

Выполнение неравенства означает, что число ограничивает сверху множество , а выполнение неравенства для всех , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество , означает, что число является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества : .

-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.

Если теперь - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству все числа, ограничивающие снизу множество .

Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства непрерывности действительных чисел, и имеет место неравенство .

Это означает, что Теорема доказана.