Теория вероятностей и математическая статистика/Сложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса

Свойства случайных величин

Суммой событий $A$ и $B$ называется такое событие $A+B$, которое означает наступление $A$ или $B$.

Произведением событий $A$ и $B$ называется событие $A\cdot B$, состоящее в одновременном их появлении.

Противоположное к $A$ событие обозначается ${\bar {A}}$ и состоит в непоявлении события $A$.

Вероятности противоположных событий связаны равенством

$\mathbf {P} (A)=1-\mathbf {P} ({\bar {A}})$

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в данном эксперименте.

Сложение и умножение вероятностей

Сложение вероятностей

1. Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий: $\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)$.
2. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: $\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)-\mathbf {P} (A\cdot B)$.

Условная вероятность и независимость событий

Условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$, по определению, равна

$\mathbf {P} (A|B)={\frac {\mathbf {P} (A\cdot B)}{\mathbf {P} (B)}},\qquad \mathbf {P} (B)>0$

События $A$ и $B$ называются независимыми, если $P(A|B)=P(A)$

Умножение вероятностей

1. Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению вероятностей этих событий: $\mathbf {P} (A\cdot B)=\mathbf {P} (A)\cdot \mathbf {P} (B)$.
2. Вероятность произведения двух событий $A$ и $B$ равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: $\mathbf {P} (A\cdot B)=\mathbf {P} (B)\cdot \mathbf {P} (A|B)$.

Формула полной вероятности

События $A_{1},\ldots ,A_{n}$ называются независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Если события $A_{1},\ldots ,A_{n}$ независимы в совокупности, то вероятность события $A$, состоящего в появлении хотя бы одного из них, равна $\mathbf {P} (A)=1-\mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})\cdot \ldots \cdot \mathbf {P} ({\bar {A_{n}}})$

События $H_{1},H_{2},\ldots ,H_{n}$ образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и их сумма является достоверным событием, т.е. $H_{i}\cdot H_{j}=\varnothing ,i\neq j,\sum \limits _{i=1}^{n}H_{i}=\Omega$. События $H_{i}$ называют гипотезами.

Пусть события $H_{1},H_{2},\ldots ,H_{n}$ образуют полную группу событий. Тогда для любого события $A$ имеет место формула полной вероятности: $\mathbf {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {P} (H_{i})\mathbf {P} (A|H_{i})$

Формула Байеса

Если известно, что событие $A$ наступило, то вероятности гипотез $H_{k}$ становятся условными вероятностями и могут быть найдены по формуле Байеса: $\mathbf {P} (H_{k}|A)={\frac {\mathbf {P} (H_{k})\mathbf {P} (A|H_{k})}{\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {P} (H_{i})\mathbf {P} (A|H_{i})}}$, $k=1,2,\ldots ,n$

Примеры

Пример 1

Предприятие дает в среднем 25 % продукции высшего сорта и 65 % продукции первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта?

Решение:

Решение. Пусть событие $A=$ {изделие высшего сорта}, а событие $B=$ {изделие первого сорта}. Тогда событие $A+B=$ {изделие высшего или первого сорта}. Так как события $A$ и $B$ являются несовместными, то по теореме сложения получим: $\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)=0,25+0,65=0,9$.

Пример 2

Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием равна 0,8, а вторым — 0,7.

Решение:

Пусть событие $A=$ {первое орудие поразило цель}, а событие $B=$ {второе орудие поразило цель}. Тогда событие $A\cdot B=$ {оба орудия поразили цель (первое и второе орудие поразили цель)}. Так как события $A$ и $B$ являются независимыми, то по теореме умножения получим: $P(A\cdot B)=\mathbf {P} (A)\cdot \mathbf {P} (B)=0,8\cdot 0,7=0,56$.

Пример 3

Рис. 1. Электрическая схема узлов

Имеется электрическая схема, представленная на рис. 1, в которой вероятности отказа узлов $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, $B_{4}$ за время $T$ равны 0,2; 0,4; 0,3; 0,1. Электрическая схема выходит из строя, если цепь разомкнута. Определить вероятность нормальной работы схемы за время $T$.

Решение

Обозначим событие $A_{i}=$ {отказ элемента $B_{i}$}, $i=$ 1, 2, 3, 4, $A=$ {безотказная работа схемы}. Вероятности этих событий по условию задачи равны: $\mathbf {P} (A_{1})=0.2$, $\mathbf {P} (A_{2})=0.4$, $\mathbf {P} (A_{3})=0.3$, $\mathbf {P} (A_{4})=0.1$. Событие $A$ равно ${\bar {A_{1}}}\cdot {\bar {A_{2}}}\cdot ({\bar {A_{3}}}+{\bar {A_{4}}})$. Тогда

$\mathbf {P} (A)=\mathbf {P} ({\bar {A_{1}}}\cdot {\bar {A_{2}}}\cdot ({\bar {A_{3}}}+{\bar {A_{4}}}))=$ $\mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}}+{\bar {A_{4}}})=$ $\mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})(\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}})+\mathbf {P} ({\bar {A_{4}}})-\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}}\cdot {\bar {A_{4}}}))=$ $\mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})(\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}})+\mathbf {P} ({\bar {A_{4}}})-\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{4}}}))=$ $(1-\mathbf {P} (A_{1}))(1-\mathbf {P} (A_{2}))(1-\mathbf {P} (A-3)+1-\mathbf {P} (A_{4})-(1-\mathbf {P} (A_{3}))(1-\mathbf {P} (A_{4})))=$ $0.8\cdot 0.6\cdot (0.7+0.9-0.7\cdot 0.9)\approx 0.466$

Пример 4

Партия электрических лампочек на 25 % изготовлена первым заводом, на 35 % — вторым и на 40 % — третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны 0,03; 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной?

Решение

Обозначим событие $A=$ {лампочка оказалась бракованной}. Вероятность данного события зависит от того, каким заводом она была изготовлена. Пусть гипотеза $H_{i}=$ {лампочка изготовлена $i$-м заводом}, $i=$ 1, 2, 3. Гипотезы $H_{1}$, $H_{2}$ и $H_{3}$ образуют полную группу событий, $\mathbf {P} (H_{1})=0.25$, $\mathbf {P} (H_{2})=0.35$, $\mathbf {P} (H_{3})=0.4$ ($\mathbf {P} (H_{1})+\mathbf {P} (H_{2})+\mathbf {P} (H_{3})=1$).

Условные вероятности равны: $\mathbf {P} (A|H_{1})=0.03$, $\mathbf {P} (A|H_{2})=0.02$ и $\mathbf {P} (A|H_{3})=0.01$. Тогда применим формулу полной вероятности: $\mathbf {P} (A)=\mathbf {P} (H_{1})\mathbf {P} (A|H_{1})+\mathbf {P} (H_{2})P(A|H_{2})+\mathbf {P} (H_{3})\mathbf {P} (A|H_{3})=$$0.25\cdot 0.03+0.35\cdot 0.02+0.4\cdot 0.01=0.0185$.

Пример 5

Из 12 лотерейных билетов 5 выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Во второй раз был вытянут выигрышный билет. Какова вероятность того, что и в первый раз был вытянут выигрышный билет?

Решение

Пусть событие $A=$ {во второй раз был вытянут выигрышный билет}. Гипотезы $H_{1}=$ {в первый раз был вытянут выигрышный билет}, $H_{2}=$ {в первый раз был вытянут невыигрышный билет}. В задаче необходимо найти $\mathbf {P} (H1|A)$. Будем использовать формулу Байеса. Для этого найдем $\mathbf {P} (H_{1})={\frac {5}{12}}$, $\mathbf {P} (H_{2})={\frac {7}{12}}$; $\mathbf {P} (A|H_{1})={\frac {4}{11}}$, $\mathbf {P} (A|H_{2})={\frac {5}{11}}$. Тогда искомая вероятность равна $\mathbf {P} (H_{1}|A)={\frac {\mathbf {P} (H_{1})\mathbf {P} (A|H_{1})}{\mathbf {P} (H_{1})\mathbf {P} (A|H_{1})+\mathbf {P} (H_{2})\mathbf {P} (A|H_{2})}}={\frac {{\frac {5}{12}}\cdot {\frac {4}{11}}}{{\frac {5}{12}}\cdot {\frac {4}{11}}+{\frac {7}{12}}\cdot {\frac {5}{11}}}}={\frac {4}{11}}$.

Упражнения

1 Выберите верную формулу суммы двух несовместных событий $A$ и $B$

	$\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)-\mathbf {P} (A\cdot B)$
	$\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)-\mathbf {P} (A\cdot B)$
	$\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)$

2 Выберите верную формулу произведения двух независимых событий $A$ и $B$

	$\mathbf {P} (A\cdot B)={\frac {\mathbf {P} (A+B)}{\mathbf {P} (B)}}$
	$\mathbf {P} (A\cdot B)=\mathbf {P} (A)\cdot \mathbf {P} (B)$
	$\mathbf {P} (A\cdot B)=\mathbf {P} (B)\cdot \mathbf {P} (A|B)$

3 Выберите верное название формулы $\mathbf {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {P} (H_{i})\mathbf {P} (A|H_{i})$

	Формула условной вероятности
	Формула Байеса
	Формула полной вероятности