Теория вероятностей и математическая статистика/Сложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Свойства случайных величин[править]

Суммой событий и называется такое событие , которое означает наступление или .

Произведением событий и называется событие , состоящее в одновременном их появлении.

Противоположное к событие обозначается и состоит в непоявлении события .

Вероятности противоположных событий связаны равенством

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в данном эксперименте.

Сложение и умножение вероятностей[править]

Сложение вероятностей[править]

  1. Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий: .
  2. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .

Условная вероятность и независимость событий[править]

Условная вероятность события при условии, что произошло событие , по определению, равна

События и называются независимыми, если

Умножение вероятностей[править]

  1. Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий: .
  2. Вероятность произведения двух событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: .

Формула полной вероятности[править]

События называются независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Если события независимы в совокупности, то вероятность события , состоящего в появлении хотя бы одного из них, равна

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и их сумма является достоверным событием, т.е. . События называют гипотезами.

Пусть события образуют полную группу событий. Тогда для любого события имеет место формула полной вероятности:

Формула Байеса[править]

Если известно, что событие наступило, то вероятности гипотез становятся условными вероятностями и могут быть найдены по формуле Байеса: ,

Примеры[править]

Пример 1[править]

Предприятие дает в среднем 25 % продукции высшего сорта и 65 % продукции первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта?

Решение:

Решение. Пусть событие {изделие высшего сорта}, а событие {изделие первого сорта}. Тогда событие {изделие высшего или первого сорта}. Так как события и являются несовместными, то по теореме сложения получим: .

Пример 2[править]

Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием равна 0,8, а вторым — 0,7.

Решение:

Пусть событие {первое орудие поразило цель}, а событие {второе орудие поразило цель}. Тогда событие {оба орудия поразили цель (первое и второе орудие поразили цель)}. Так как события и являются независимыми, то по теореме умножения получим: .

Пример 3[править]

Рис. 1. Электрическая схема узлов

Имеется электрическая схема, представленная на рис. 1, в которой вероятности отказа узлов , , , за время равны 0,2; 0,4; 0,3; 0,1. Электрическая схема выходит из строя, если цепь разомкнута. Определить вероятность нормальной работы схемы за время .

Решение

Обозначим событие {отказ элемента }, 1, 2, 3, 4, {безотказная работа схемы}. Вероятности этих событий по условию задачи равны: , , , . Событие равно . Тогда

Пример 4[править]

Партия электрических лампочек на 25 % изготовлена первым заводом, на 35 % — вторым и на 40 % — третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны 0,03; 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной?

Решение

Обозначим событие {лампочка оказалась бракованной}. Вероятность данного события зависит от того, каким заводом она была изготовлена. Пусть гипотеза {лампочка изготовлена -м заводом}, 1, 2, 3. Гипотезы , и образуют полную группу событий, , , ().

Условные вероятности равны: , и . Тогда применим формулу полной вероятности: .


Пример 5[править]

Из 12 лотерейных билетов 5 выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Во второй раз был вытянут выигрышный билет. Какова вероятность того, что и в первый раз был вытянут выигрышный билет?

Решение

Пусть событие {во второй раз был вытянут выигрышный билет}. Гипотезы {в первый раз был вытянут выигрышный билет}, {в первый раз был вытянут невыигрышный билет}. В задаче необходимо найти . Будем использовать формулу Байеса. Для этого найдем , ; , . Тогда искомая вероятность равна .

Упражнения[править]

1 Выберите верную формулу суммы двух несовместных событий и

2 Выберите верную формулу произведения двух независимых событий и

3 Выберите верное название формулы

Формула условной вероятности
Формула Байеса
Формула полной вероятности