Свойства случайных величин [ править ] Суммой событий
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
+
B
{\displaystyle A+B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Произведением событий
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
⋅
B
{\displaystyle A\cdot B}
Противоположное к
A
{\displaystyle A}
A
¯
{\displaystyle {\bar {A}}}
A
{\displaystyle A}
Вероятности противоположных событий связаны равенством
P
(
A
)
=
1
−
P
(
A
¯
)
{\displaystyle \mathbf {P} (A)=1-\mathbf {P} ({\bar {A}})}
Два события называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого в данном эксперименте.
Сложение и умножение вероятностей [ править ] Сложение вероятностей [ править ] Вероятность суммы двух несовместных событий
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
{\displaystyle \mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)}
Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
⋅
B
)
{\displaystyle \mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)-\mathbf {P} (A\cdot B)}
Условная вероятность и независимость событий [ править ] Условная вероятность события
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
|
B
)
=
P
(
A
⋅
B
)
P
(
B
)
,
P
(
B
)
>
0
{\displaystyle \mathbf {P} (A|B)={\frac {\mathbf {P} (A\cdot B)}{\mathbf {P} (B)}},\qquad \mathbf {P} (B)>0}
События
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
независимыми , если
P
(
A
|
B
)
=
P
(
A
)
{\displaystyle P(A|B)=P(A)}
Умножение вероятностей [ править ] Вероятность произведения двух независимых событий
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
⋅
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
{\displaystyle \mathbf {P} (A\cdot B)=\mathbf {P} (A)\cdot \mathbf {P} (B)}
Вероятность произведения двух событий
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
⋅
B
)
=
P
(
B
)
⋅
P
(
A
|
B
)
{\displaystyle \mathbf {P} (A\cdot B)=\mathbf {P} (B)\cdot \mathbf {P} (A|B)}
Формула полной вероятности [ править ] События
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
независимыми в совокупности , если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Если события
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
A
{\displaystyle A}
P
(
A
)
=
1
−
P
(
A
1
¯
)
P
(
A
2
¯
)
⋅
…
⋅
P
(
A
n
¯
)
{\displaystyle \mathbf {P} (A)=1-\mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})\cdot \ldots \cdot \mathbf {P} ({\bar {A_{n}}})}
События
H
1
,
H
2
,
…
,
H
n
{\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots ,H_{n}}
полную группу событий , если они попарно несовместны и их сумма является достоверным событием, т.е.
H
i
⋅
H
j
=
∅
,
i
≠
j
,
∑
i
=
1
n
H
i
=
Ω
{\displaystyle H_{i}\cdot H_{j}=\varnothing ,i\neq j,\sum \limits _{i=1}^{n}H_{i}=\Omega }
H
i
{\displaystyle H_{i}}
гипотезами .
Пусть события
H
1
,
H
2
,
…
,
H
n
{\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots ,H_{n}}
A
{\displaystyle A}
формула полной вероятности :
P
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
H
i
)
P
(
A
|
H
i
)
{\displaystyle \mathbf {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {P} (H_{i})\mathbf {P} (A|H_{i})}
Формула Байеса [ править ] Формула Байеса Если известно, что событие
A
{\displaystyle A}
H
k
{\displaystyle H_{k}}
формуле Байеса :
P
(
H
k
|
A
)
=
P
(
H
k
)
P
(
A
|
H
k
)
∑
i
=
1
n
P
(
H
i
)
P
(
A
|
H
i
)
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{k}|A)={\frac {\mathbf {P} (H_{k})\mathbf {P} (A|H_{k})}{\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {P} (H_{i})\mathbf {P} (A|H_{i})}}}
k
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}
Предприятие дает в среднем 25 % продукции высшего сорта и 65 % продукции первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта?
Решение:
Решение. Пусть событие
A
=
{\displaystyle A=}
B
=
{\displaystyle B=}
A
+
B
=
{\displaystyle A+B=}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
=
0
,
25
+
0
,
65
=
0
,
9
{\displaystyle \mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)=0,25+0,65=0,9}
Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием равна 0,8, а вторым — 0,7.
Решение:
Пусть событие
A
=
{\displaystyle A=}
B
=
{\displaystyle B=}
A
⋅
B
=
{\displaystyle A\cdot B=}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
⋅
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
=
0
,
8
⋅
0
,
7
=
0
,
56
{\displaystyle P(A\cdot B)=\mathbf {P} (A)\cdot \mathbf {P} (B)=0,8\cdot 0,7=0,56}
Рис. 1. Электрическая схема узлов Имеется электрическая схема, представленная на рис. 1, в которой вероятности отказа узлов
B
1
{\displaystyle B_{1}}
B
2
{\displaystyle B_{2}}
B
3
{\displaystyle B_{3}}
B
4
{\displaystyle B_{4}}
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
Решение
Обозначим событие
A
i
=
{\displaystyle A_{i}=}
B
i
{\displaystyle B_{i}}
i
=
{\displaystyle i=}
A
=
{\displaystyle A=}
P
(
A
1
)
=
0.2
{\displaystyle \mathbf {P} (A_{1})=0.2}
P
(
A
2
)
=
0.4
{\displaystyle \mathbf {P} (A_{2})=0.4}
P
(
A
3
)
=
0.3
{\displaystyle \mathbf {P} (A_{3})=0.3}
P
(
A
4
)
=
0.1
{\displaystyle \mathbf {P} (A_{4})=0.1}
A
{\displaystyle A}
A
1
¯
⋅
A
2
¯
⋅
(
A
3
¯
+
A
4
¯
)
{\displaystyle {\bar {A_{1}}}\cdot {\bar {A_{2}}}\cdot ({\bar {A_{3}}}+{\bar {A_{4}}})}
P
(
A
)
=
P
(
A
1
¯
⋅
A
2
¯
⋅
(
A
3
¯
+
A
4
¯
)
)
=
{\displaystyle \mathbf {P} (A)=\mathbf {P} ({\bar {A_{1}}}\cdot {\bar {A_{2}}}\cdot ({\bar {A_{3}}}+{\bar {A_{4}}}))=}
P
(
A
1
¯
)
P
(
A
2
¯
)
P
(
A
3
¯
+
A
4
¯
)
=
{\displaystyle \mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}}+{\bar {A_{4}}})=}
P
(
A
1
¯
)
P
(
A
2
¯
)
(
P
(
A
3
¯
)
+
P
(
A
4
¯
)
−
P
(
A
3
¯
⋅
A
4
¯
)
)
=
{\displaystyle \mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})(\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}})+\mathbf {P} ({\bar {A_{4}}})-\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}}\cdot {\bar {A_{4}}}))=}
P
(
A
1
¯
)
P
(
A
2
¯
)
(
P
(
A
3
¯
)
+
P
(
A
4
¯
)
−
P
(
A
3
¯
)
P
(
A
4
¯
)
)
=
{\displaystyle \mathbf {P} ({\bar {A_{1}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{2}}})(\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}})+\mathbf {P} ({\bar {A_{4}}})-\mathbf {P} ({\bar {A_{3}}})\mathbf {P} ({\bar {A_{4}}}))=}
(
1
−
P
(
A
1
)
)
(
1
−
P
(
A
2
)
)
(
1
−
P
(
A
−
3
)
+
1
−
P
(
A
4
)
−
(
1
−
P
(
A
3
)
)
(
1
−
P
(
A
4
)
)
)
=
{\displaystyle (1-\mathbf {P} (A_{1}))(1-\mathbf {P} (A_{2}))(1-\mathbf {P} (A-3)+1-\mathbf {P} (A_{4})-(1-\mathbf {P} (A_{3}))(1-\mathbf {P} (A_{4})))=}
0.8
⋅
0.6
⋅
(
0.7
+
0.9
−
0.7
⋅
0.9
)
≈
0.466
{\displaystyle 0.8\cdot 0.6\cdot (0.7+0.9-0.7\cdot 0.9)\approx 0.466}
Партия электрических лампочек на 25 % изготовлена первым заводом, на 35 % — вторым и на 40 % — третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны 0,03; 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной?
Решение
Обозначим событие
A
=
{\displaystyle A=}
H
i
=
{\displaystyle H_{i}=}
i
{\displaystyle i}
i
=
{\displaystyle i=}
H
1
{\displaystyle H_{1}}
H
2
{\displaystyle H_{2}}
H
3
{\displaystyle H_{3}}
P
(
H
1
)
=
0.25
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{1})=0.25}
P
(
H
2
)
=
0.35
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})=0.35}
P
(
H
3
)
=
0.4
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{3})=0.4}
P
(
H
1
)
+
P
(
H
2
)
+
P
(
H
3
)
=
1
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{1})+\mathbf {P} (H_{2})+\mathbf {P} (H_{3})=1}
Условные вероятности равны:
P
(
A
|
H
1
)
=
0.03
{\displaystyle \mathbf {P} (A|H_{1})=0.03}
P
(
A
|
H
2
)
=
0.02
{\displaystyle \mathbf {P} (A|H_{2})=0.02}
P
(
A
|
H
3
)
=
0.01
{\displaystyle \mathbf {P} (A|H_{3})=0.01}
P
(
A
)
=
P
(
H
1
)
P
(
A
|
H
1
)
+
P
(
H
2
)
P
(
A
|
H
2
)
+
P
(
H
3
)
P
(
A
|
H
3
)
=
{\displaystyle \mathbf {P} (A)=\mathbf {P} (H_{1})\mathbf {P} (A|H_{1})+\mathbf {P} (H_{2})P(A|H_{2})+\mathbf {P} (H_{3})\mathbf {P} (A|H_{3})=}
0.25
⋅
0.03
+
0.35
⋅
0.02
+
0.4
⋅
0.01
=
0.0185
{\displaystyle 0.25\cdot 0.03+0.35\cdot 0.02+0.4\cdot 0.01=0.0185}
Из 12 лотерейных билетов 5 выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Во второй раз был вытянут выигрышный билет. Какова вероятность того, что и в первый раз был вытянут выигрышный билет?
Решение
Пусть событие
A
=
{\displaystyle A=}
H
1
=
{\displaystyle H_{1}=}
H
2
=
{\displaystyle H_{2}=}
P
(
H
1
|
A
)
{\displaystyle \mathbf {P} (H1|A)}
P
(
H
1
)
=
5
12
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{1})={\frac {5}{12}}}
P
(
H
2
)
=
7
12
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})={\frac {7}{12}}}
P
(
A
|
H
1
)
=
4
11
{\displaystyle \mathbf {P} (A|H_{1})={\frac {4}{11}}}
P
(
A
|
H
2
)
=
5
11
{\displaystyle \mathbf {P} (A|H_{2})={\frac {5}{11}}}
P
(
H
1
|
A
)
=
P
(
H
1
)
P
(
A
|
H
1
)
P
(
H
1
)
P
(
A
|
H
1
)
+
P
(
H
2
)
P
(
A
|
H
2
)
=
5
12
⋅
4
11
5
12
⋅
4
11
+
7
12
⋅
5
11
=
4
11
{\displaystyle \mathbf {P} (H_{1}|A)={\frac {\mathbf {P} (H_{1})\mathbf {P} (A|H_{1})}{\mathbf {P} (H_{1})\mathbf {P} (A|H_{1})+\mathbf {P} (H_{2})\mathbf {P} (A|H_{2})}}={\frac {{\frac {5}{12}}\cdot {\frac {4}{11}}}{{\frac {5}{12}}\cdot {\frac {4}{11}}+{\frac {7}{12}}\cdot {\frac {5}{11}}}}={\frac {4}{11}}}
