1,5; 2,4.... Quante sono le possibili combinazioni risultanti dal lancio di due dadi?
Se il primo dado mi da 1 il secondo può darmi 6 punteggi differenti, se il primo mi da 2 il secondo può, anche in questo caso, darmi 6 punteggi differenti, quindi...
Sei facce ed altre sei facce, sei possibilità per ognuno dei due dadi Giusto?
Ogni primavera da ogni ramo ne spuntano 3. Partito quattro anni fa da un tronco quanti rami ha adesso questo albero?
L'albero si divide in tre ripetutamente per quattro volte, mmmmmm????
Su ogni ramo ne spuntano tre partendo dal tronco quindi
... generalizzando la potenza di 10 si ottiene aggiungendo tanti zeri quanti indicati nell'esponente...
Corrispondenze tra le potenze di 2 e di 10[modifica]
Da quando abbiamo a che fare con device elettronici misuriamo la loro capacità di memoria in Mb (megabyte), Gb (gigabyte) ed anche in Tb (terabyte). I suffissi di questi multipli del byte sono mutuati dalle potenze del 10:
4 Giga, 16 Giga oppure 64 Giga, la quantità di RAM a disposizione dei nostri smartphone, tablet o PC, in generale viene misurata in Giga, e stranamente questi Giga crescono come le potenze di 2, guarda la tabella qui sopra. Perchè?
Le informazioni nei nostri strumenti vengono registrate digitalmente in bitVK, che possiamo pensare come un segnale binarioVK, una lampadina accesa o spenta, un 1 oppure uno 0, insomma un codice a due sole cifre.
8 bit formano un byteVK , e 1024 Byte fanno un KiloByte, .
Come semplificare i calcoli con le potenze 1: qualche trucco[modifica]
Quindi prendiamo una divisione tra due numeri particolari entrambi potenze con la stessa base fatto in fretta ma con la calcolatrice ;-)
Pensandoci un poco si tratta di moltiplicare 7 per se stesso 5 volte e poi di dividere il numero ottenuto per 7 per tre volte, una dietro l'altra. Questo è un lavoro per la proprietà invariantiva VK
Possiamo dividere dividendoVK e divisoreVK per uno stesso numero, il massimo numero di sette possibile, furbescamente il massimo comun divisoreVK tra i due, per farlo basta cancellarli dal dividendo e dal divisore nello stesso numero. Quanti ne posso cancellare?
Come semplificare i calcoli con le potenze 2: algebra delle potenze[modifica]
I calcoli con le potenze possono essere svolti in modo veloce e semplificato tenendo conto delle proprietà dei calcoli con le potenze, che tutte insieme forma l'algebra delle potenza.
Tutte le proprietà vanno imparate per agevolare il calcolo mentale, così come per le quattro operazioni, quindi è consigliabile usarle soprattutto quando si ha a che fare con operazioni con numeri molto grandi.
Prodotto di potenze con la stessa base e diverso esponente[modifica]
Matteo Ruffoni, Moltiplicare potenze basi uguali, su YouTube.
Se devo moltiplicare tra loro due potenze che hanno la stessa base posso ricorrere alla proprietà associativa, infatti
e, come si deduce facilmente dai passaggi esposti:
Possiamo così esporre la regola generale. Quindi se a, n ed m sono numeri naturali positivi, che in simboli
allora
Quoziente di potenze con la stessa base e diverso esponente[modifica]
Eccosi ad una prima grande sorpresa delle proprietà delle potenze, con l'uso appropriato dell'uguaglianza e rispettando le regole di calcolo possiamo dare significato a scritture come
infatti è il risultato di una divisione tra potenze aventi la stessa base e lo stesso esponente e quindi ecco la dimostrazione:
tutte le uguaglianze sono matematicamente vere e quindi possiamo affermare che 2 elevato a zero è uguale ad uno.
Anche in questo caso possiamo dedurre la regola generale, visto che non c'è nessuna particolarità nel numero 2 se non quella di essere maggiore di 0.
Sapendo che il simbolo significa per qualsiasi possiamo enunciare la regola generale
Prodotto di potenze con stesso esponente (distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione)[modifica]
Applicando le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione è facile mostrare che la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze.
Generalizzando, se
Quoziente di potenze con lo stesso esponente (distributiva della potenza rispetto alla divisione)[modifica]
Per la dimostrazione di questa proprietà la strada è un po' più lunga.
Per la definizione di divisione moltiplicando la divisione per il divisore si ottiene il dividendo
... e se due numeri sono uguali saranno uguali anche le loro potenze
poichè abbiamo visto nel paragrafo precedente che la potenza è distributiva rispetto alla moltiplicazione possiamo applicarla al primo membro dell'uguaglianza
e concludiamo applicando al contrario la definizione di divisione
La regola che ci permette di svolgere la potenza di potenza si comprende semplicemente scrivendo esplicitamente la base moltiplicata per se stessa il numero di volte indicato dagli esponenti presi in successione
Generalizzando, se
Esercizi per capire l'algebra delle potenze[modifica]
Come scrivere numeri molto grandi con poche cifre - Notazione standard[modifica]
La notazione standard è conosciuta anche come notazione esponenziale o notazione scientifica.
Per chi non ama leggere:
Per poter scrivere numeri molto grandi risparmiando sul numero di cifre utilizzate e accettando una ragionevole approssimazione si può ricorrere alla notazione standard il numero viene espresso attraverso un numero compreso tra 0 e 10 con due cifre decimali moltiplicato per una potenza di 10 opportuna.
Ad esempio usando una calcolatrice scientifica per fare un calcolo con un risultato molto grande, più di dieci cifre ad esempio, il risultato potrebbe essere questo:
La calcolatrice avendo esaurito i posti per le cifre ci fornisce come risultato approssimato
Fare calcoli con i numeri scritti in notazione standard necessita di un po' di cautela, partendo dagli esempi si possono trovare formule generali.
Con
Sommare due numeri che hanno la stessa potenza di 10[modifica]
Per fare la somma
si usa la proprietà distributiva, infatti
...e nel caso la somma degli addendi decimali superasse il 10, dividendo la parte decimale e moltiplicando il fattore esponenziale
Quindi
tenendo conto che nel caso la forma corretta del numero si può ottenere facilmente
Sommare due numeri che non hanno la stessa potenza di 10[modifica]
Se le potenze del 10 sono poco differenti si può provare a ricondurre i due numeri alla stessa potenza
Se la differenza è più consistente, il numero con la potenza del 10 maggiore è più grande di almeno 100 volte, e quindi l'addendo più piccolo è trascurabile
nell'esempio si sta sommando con il secondo addendo è piccolissimo rispetto al primo e quindi
La moltiplicazione è piuttosto semplice in notazione standard, infatti la stessa notazione è già di per sé una moltiplicazione, e quindi applicando commutativa ed associativa si può facilmente calcolare il risultato che infine può essere ricondotto alla forma corretta
Per operare con le potenze ad esponente negativo è necessario ricordarsi quanto detto per le proprietà delle potenze e per i numeri relativi. Ecco qui un video per togliervi ogni dubbio Matematicaoggi, Potenze con esponente negativo, su YouTube.