Теория устойчивости

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.

Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости

Рассмотрим задачу Коши: ${\begin{cases}{\overline {y}}'={\overline {f}}(t,{\overline {y}}(t)),t\geq t_{0},\\{\overline {y}}(t_{0})={\overline {y}}_{0}\end{cases}}$

Её решение ${\overline {y}}$ единственно и определено $\forall t>t_{0}$. Пусть ${\overline {y}}^{*}(t)$ - решение задачи с возмущенным начальным значением: ${\begin{cases}({\overline {y}}^{*})'={\overline {f}}(t,{\overline {y}}^{*}(t)),t\geq t_{0},\\{\overline {y}}^{*}(t_{0})={\overline {y}}_{0}^{*}\end{cases}}$

Определение. Решение ${\overline {y}}(t)$ задачи Коши называется устойчивым по Ляпунову, если $\forall \varepsilon >0\exists \delta (\varepsilon ):0<\delta (\varepsilon )<\delta _{0},\forall {\overline {y}}^{*}(t)|{\overline {y}}_{0}^{*}-{\overline {y}}_{0}|<\delta (\varepsilon )\Rightarrow |{\overline {y}}^{*}(t)-{\overline {y}}(t)|<\varepsilon \forall t\geq t_{0}$

Определение. Решение ${\overline {y}}(t)$ задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует $\delta _{1}$ такое, что $0<\delta _{1}<\delta _{0}$ и $|{\overline {y}}_{0}^{*}-{\overline {y}}_{0}|<\delta _{1}\Rightarrow |{\overline {y}}^{*}(t)-{\overline {y}}(t)|\to 0$ при $t\rightarrow \infty$

Точки покоя

Заметим, что погрешность ${\overline {x}}(t)={\overline {y}}^{*}(t)-{\overline {y}}(t)$ является решением задачи Коши ${\begin{cases}{\overline {x}}'={\overline {\Phi }}(t,{\overline {x}}(t)),t\geq t_{0},\\{\overline {x}}(t_{0})={\overline {x}}_{0}={\overline {y}}_{0}^{*}-{\overline {y}}_{0}\end{cases}}$ где ${\overline {\Phi }}(t,{\overline {x}}(t))={\overline {f}}(t,{\overline {y}}(t)+{\overline {x}}(t))-{\overline {f}}(t,{\overline {y}}(t))$

Невозмущенному решению соответствует точка покоя системы: ${\overline {x}}(t)\equiv {\overline {0}}$

Определение. Точка покоя ${\overline {x}}(t)\equiv 0$ называется устойчивой по Ляпунову, если для любого $\varepsilon >0\exists \delta (\varepsilon ):0<\delta (\varepsilon )<\delta _{0}$ и для всякого решения ${\overline {x}}(t)|{\overline {x}}_{0}|<\delta (\varepsilon )\Rightarrow |{\overline {x}}(t)|<\varepsilon \forall t\geq t_{0}$

Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами

Исследуется устойчивость точки покоя однородной системы:

${\begin{cases}x_{1}'(t)=a_{11}x_{1}(t)+a_{12}x_{2}(t)\\x_{2}'(t)=a_{21}x_{1}(t)+a_{22}x_{2}(t)\end{cases}}$

Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда $Re\lambda _{s}<0$ для всех собственных значений матрицы A.

В матричной форме:

${\vec {y}}'=A{\vec {y}}+{\vec {f}}(t)$, $A$ - матрица с постоянными коэффициентами.

${\begin{cases}{\vec {x}}'(t)=A{\vec {x}}(t)&\quad (2.1)\\{\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0}&\quad (2.2)\end{cases}}$

$(2.3)\quad {\vec {x}}(t)=\sum _{s=1}^{n}\sum _{l=1}^{k_{s}}z_{sl}{\vec {e}}_{s}^{(l)}\quad ;\quad z_{sl}(t)=e^{\lambda _{s}t}P_{k_{s}-1,s}^{(l-1)}$

Теорема. Точка покоя системы $(2.1)$ была устойчива по Ляпунову $\Leftrightarrow$ $Re\lambda _{s}\leq 0$ и $Re\lambda _{s}=0$ отвечали жордановым клеткам размера $k_{s}=1$

Доказательство. $(\Leftarrow )$ В формуле $(2.3)$ запишем $z_{sl}(t)$ в виде $z_{sl}=e^{\lambda _{s}(t-t_{0})}Q_{k_{s}-1,s}^{l-1}(t)$

$Q_{k_{s}-1,s}(t)=\sum _{j=0}^{k_{s}-1}{\frac {c_{s,j}(t-t_{0})^{j}}{j!}}$, $c_{sj}=z_{sj}(t_{0})$

${\vec {x}}(t)=P{\vec {z}},{\vec {z}}(t_{0})=P^{-1}{\vec {x}}_{0}\Rightarrow |z(t_{0})|\leq \|P^{-1}\|_{2}|{\vec {x}}_{0}|$

$|c_{sj}|\leq \|P^{-1}\|_{2}|{\vec {x}}_{0}|$ $|Q_{k_{s}-1,s}(t)|\leq \|P^{-2}\|_{2}|{\vec {x}}_{0}|\sum _{j=0}^{k_{s}-1}{\frac {(t-t_{0})^{j}}{j!}}$

$|x(t)|\leq \sum _{s=1}^{n}\sum _{l=1}^{k_{s}}\|P^{-1}\|_{2}|{\vec {x}}_{0}|e^{\lambda _{s}(t-t_{0})}\sum _{j=0}^{k_{s}-1}{\frac {(t-t_{0})^{j}}{j!}}\cdot {\vec {e}}_{s}^{(l)}$

Пусть $Re\lambda _{s}\leq 0$ и если $Re\lambda _{s}=0$, то $k_{s}=1$

$\underbrace {e^{[Re\lambda _{s}](t-t_{0})}P(t)} _{{\text{ограничена на }}t\geq t_{0}}\rightarrow [t\to \infty ]{}0$, если $Re\lambda _{s}<0$

Если $k_{s}=1$, то $\sum _{j}=const$ $|{\vec {x}}(t)|\leq C|{\vec {x}}_{0}|$; $|{\vec {x}}(t)|\leq \varepsilon \Leftrightarrow |{\vec {x}}_{0}|<\delta (\varepsilon )={\frac {\varepsilon }{c}}$

$(\Rightarrow )$ Пусть точка покоя устойчива по Ляпунову. Докажем, что тогда $Re\lambda _{s}\leq 0\quad \forall s$ и $Re\lambda _{s}=0\Rightarrow k_{s}=1$

Предположим противное, то есть а) $Re\lambda _{s}>0$ для некоторого s либо б) $\exists s:Re\lambda _{s}=0,k_{s}>1$

а) $x(t)=\delta e^{\lambda _{s}t}{\vec {e}}_{s}^{(1)}$ решение системы $(2.1)$

$x(t_{0})=\delta e^{\lambda _{s}t_{0}}{\vec {e}}_{s}^{(1)}=x_{0}$

${\vec {x}}'(t)=\lambda _{s}\delta e^{\lambda _{s}t}{\vec {t}}_{s}^{(1)}=\delta e^{\lambda _{s}t}A{\vec {e}}_{s}^{(1)}=A{\vec {x}}(t)\underbrace {e^{\lambda _{s}t}+e^{\lambda _{s}t}x} _{\text{not exactly не точно}}$

$|{\vec {x}}(t)|=\delta e^{Re\lambda _{s}t}|{\vec {e}}_{s}^{(1)}|\rightarrow [t\to \infty ]{}+\infty$ Решение не устойчиво по Ляпунову $\Rightarrow$ наше предположение неверно и $\Rightarrow$ $Re\lambda _{s}\leq 0$

б) $P_{s}=\delta t$

${\vec {x}}(t)=\delta te^{\lambda _{s}t}{\vec {e}}_{s}^{(1)}+\delta te^{\lambda _{s}t}{\vec {e}}_{s}^{(2)}$ - решение задачи

${\vec {x}}(t_{0})=\delta e^{\lambda _{s}t_{0}}{\vec {e}}_{s}^{(2)}=x_{0}$

$|{\vec {x}}(t)|=\delta \underbrace {e^{Re\lambda _{s}t}} _{=1}(t{\vec {e}}_{s}^{(1)}+{\vec {e}}_{s}^{(2)})\rightarrow [t\to \infty ]{}+\infty$ $\Rightarrow$ предположение неверно. Теорема доказана.

Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда $Re\lambda _{s}<0$ для всех собственных значений матрицы A.

Простейшие типы точек покоя

"устойчивый узел"

${\begin{cases}x_{1}'(t)=a_{11}x_{1}(t)+a_{12}x_{2}(t)\\x_{2}'(t)=a_{21}x_{1}(t)+a_{22}x_{2}(t)\end{cases}}$

• $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ вещественны и различны:

• $\lambda _{1}<\lambda _{2}<0$ ${\overline {x}}(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}{\overline {e}}_{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}{\overline {e}}_{2}$. "устойчивый узел"
• $0<\lambda _{1}<\lambda _{2}$ "неустойчивый узел"

  

  неустойчивый узел

• $\lambda _{1}<0<\lambda _{2}$ "седло"

  

  седло

• $\lambda _{1}<\lambda _{2}=0$ ${\overline {x}}(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}{\overline {e}}_{1}+c_{2}{\overline {e}}_{2}$ - точка покоя устойчивая

  

  точка покоя устойчивая

• $0=\lambda _{1}<\lambda _{2}$ ${\overline {x}}(t)=c_{1}{\overline {e}}_{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}{\overline {e}}_{2}$ - точка покоя неустойчива

  

  точка покоя неустойчива

• $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ комплексны и различны:

$\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta$

• $\beta \neq 0,\alpha <0$ ${\overline {x}}(t)=e^{\alpha t}Re[c_{1}e^{i\beta t}{\overline {e}}_{1}+c_{2}e^{-i\beta t}{\overline {e}}_{1}]$ "устойчивый фокус"

  

  устойчивый фокус

• $\alpha >0$ "неустойчивый фокус"

  

  неустойчивый фокус

• $\alpha =0$ "центр" - устойчивая точка покоя

  

  устойчивая точка покоя

• $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ - вещественны и есть 2 линейно независимых вектора:

• $\lambda <0$ "устойчивый звездный узел"

  

  устойчивый звездный узел

• $\lambda >0$ "неустойчивый звездный узел"

  

  неустойчивый звездный узел

• $\lambda =0$ покой - $A=0$

  

  неустойчивая точка покоя

• $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ - вещественны и есть только 1 линейно независимый вектор:

${\overline {x}}(t)=e^{\lambda _{1}t}[(c_{1}t+c_{2}){\overline {e}}_{1}+c_{1}{\overline {e}}_{2}]^{\alpha \pm i\beta },\beta \neq 0$

• $\lambda <0$ "устойчивый вырожденный узел"

  

  устойчивый вырожденный узел

• $\lambda >0$ "неустойчивый вырожденный узел"

  

  неустойчивый вырожденный узел

• $\lambda =0$ - ${\overline {x}}(t)=(c_{3}t+c_{2}){\overline {e}}_{1}+c_{1}{\overline {e}}_{2}$ неизолированная неустойчивая точка покоя

  

  неизолированная неустойчивая точка покоя

Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

Исследование на устойчивость по первому приближению

${\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {f}}(t,{\vec {x}})(1)$

${\vec {x}}(t)\equiv {\vec {o}},{\vec {f}}(t,{\vec {0}})\equiv 0$. $f_{1}(t,{\vec {x}})=f_{i}(t,{\vec {0}})+\sum \limits _{j=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(t,{\vec {0}})x_{j}+R_{i}(t,{\vec {x}})$. Первое слагаемое равно нулю, второе является первым дифференциалом, каждое слагаемое равно $a_{i,j}(t)$. Третье слагаемое есть ${\bar {\bar {o}}}(|x|)$

Следовательно (1) можно преобразовать к виду ${\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=A(t){\vec {x}}+{\vec {R}}(t,{\vec {x}})$. Тогда ${\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=A(t){\vec {x}}(2)$ является системой уравнений первого приближения. Система (1) стационарна в первом приближении $\Leftrightarrow A$ не зависит от $t$.

$|{\vec {R}}(t,{\vec {x}})|\leq \psi ({\vec {x}})|{\vec {x}}|\forall t\geq t_{0}(3),\psi ({\vec {x}})\to 0$ при $|x|\to 0$

Теорема. Пусть система ДУ (1) стационарна в первом приближении и пусть выполнено предположение (3). Тогда

1) Если все собственные значения матрицы $A$ удовлетворяют условию $Re\lambda _{i}<0$, то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

2) Если существуют собственные значения такие что $Re\lambda _{i}>0$, то точка покоя неустойчива.

Второй метод Ляпунова

Определение. Функция $V({\overline {x}})=V(x_{1},\dots ,x_{m})$ называется функцией Ляпунова системы ${\overline {x}}'(t)=f({\overline {x}},t)$, если обладает следующими свойствами:

1. $V\in C^{1}({\overline {V}}_{\sigma }),{\overline {V}}_{\sigma }=\{|{\overline {x}}|\leq \sigma \}$ - шар,
2. $V({\overline {x}})\geq 0\forall x\in {\overline {V}}_{\sigma }$ и $V(x)=0\Leftrightarrow {\overline {x}}={\overline {0}}$
3. $(\triangledown V({\overline {x}}),{\overline {f}}({\overline {x}},t))=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}({\overline {x}})f_{j}({\overline {x}},t)\leq 0\forall x\in V_{\sigma }\forall t\geq t_{0}$

Теорема. Если у системы ${\overline {x}}'(t)=f({\overline {x}},t)$ есть функция Ляпунова, то точка покоя ${\overline {x}}(t)\equiv 0$ устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Пусть существует функция Ляпунова

$V({\overline {x}})$. $0<min_{|{\overline {x}}|=\varepsilon }V(x)\leq max_{|{\overline {x}}|\leq \varepsilon }V({\overline {x}})\rightarrow 0$ при $\varepsilon \rightarrow 0\forall \varepsilon ,0<\varepsilon <\sigma \rightarrow \delta (\varepsilon )$.

$max_{|{\overline {x}}|\leq \delta (\varepsilon )}V({\overline {x}})<min_{|{\overline {x}}|=\varepsilon }V({\overline {x}})$, $0<\delta (\varepsilon )<\varepsilon$.

$|{\overline {x}}_{0}|<\delta (\varepsilon )\Rightarrow |{\overline {x}}(t)|<\varepsilon \forall t\geq t_{0}\Rightarrow {\overline {x}}(t)\equiv 0$ Предположим, это не так (траектория выходит за $\varepsilon$-окрестность)

$\exists t>t_{0}$ $|{\overline {x}}(t)|>\varepsilon ,\exists t\geq t_{0}|{\overline {x}}(t)|=\varepsilon$

$\exists t*=min\{t,|{\overline {x}}(t)|=\varepsilon \}$

$t_{0}<t<t*\Rightarrow |{\overline {x}}(t)|<\varepsilon ,|{\overline {x}}(t*)|=\epsilon$

${\frac {d}{dt}}{\overline {V}}({\overline {x}}(t))=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}({\overline {x}}(t)){\frac {x_{j}}{t}}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial V}{\partial x}}({\overline {x}}(t))f_{j}({\overline {x}}(t),t)\leq 0\Rightarrow V({\overline {x}}(t))$ не возрастает для всех $t_{0}<t<t*$

Возьмём $V({\overline {x}},t_{0})$

$min_{|{\overline {x}}|=\varepsilon }V({\overline {x}})\leq V({\overline {x}}(t*))\leq V({\overline {x}}(t_{0}))\leq max_{|{\overline {x}}|\leq \delta (\varepsilon )}V({\overline {x}})<min_{|{\overline {x}}=\varepsilon |}V({\overline {x}})$ пришли к противоречию. $|x_{0}|<\delta (\varepsilon )\Rightarrow |x(t)|<\varepsilon \forall t\geq t_{0}$

Теорема. Пусть для системы ${\overline {x}}'(t)=f({\overline {x}},t)$ существует две функции $V({\overline {x}}),W({\overline {x}})$, которые обладают следующими свойствами:

1. $V\in C^{1}({\overline {V}}_{\sigma }),w\in C({\overline {V}}_{\sigma })$
2. $V_{t}=\{{\overline {x}}\in {\overline {V}}_{\sigma }|V({\overline {x}})>0\}\neq 0$
3. ${\overline {x}}=0$ является предельной точкой множества $V_{t}$
4. $w({\overline {x}})>0$ на $V_{t}$
5. $(\triangledown V({\overline {x}}),{\overline {f}}({\overline {x}},t))\geq w({\overline {x}})\forall x\in V_{t}\forall t\geq t_{0}$

тогда точка покоя системы не устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены, но точка покоя устойчива по Ляпунову.

$0<\varepsilon _{0}<\sigma \exists \delta _{0}=\delta (\varepsilon _{0})>0:|x(t_{0})|<\delta _{0}\Rightarrow |{\overline {x}}(t)|<\varepsilon \forall t\geq t_{0}$.

${\overline {x}}_{0}\in V_{t}$

$V({\overline {x}}_{0})>0\Rightarrow {\overline {x}}(t)\in V_{t}$

$t*$-момент, когда траектория впервые выходит на границу $V_{t}$

$t_{0}<t<t*\Rightarrow V({\overline {x}}(t))\in V_{t}$

${\frac {d}{dt}}V({\overline {x}}(t))=(\triangledown V({\overline {x}}),{\overline {f}}({\overline {x}},t))\geq w({\overline {x}}(t))>0\Rightarrow V({\overline {x}}(t))$ возрастает. $V({\overline {x}}(t))\geq V({\overline {x}}_{0})>0$.

${\overline {x}}(t)\in V_{t}$ для $\forall t$

${\overline {x}}(t)\in V_{{\overline {x}}_{0}}=\{{\overline {x}}||{\overline {x}}|\leq \varepsilon _{0},V({\overline {x}})\geq V({\overline {x}}_{0})>0\}$

множество ограничено и замкнуто.

$min_{{\overline {x}}\in V_{{\overline {x}}_{0}}}W(x)=W_{min}>0$

${\overline {x}}\in V_{{\overline {x}}_{0}}$, ${\frac {dv}{dt}}({\overline {x}}(t))\geq W_{min}>0$

$V({\overline {x}}(t))-V({\overline {x}}(t_{0}))\geq W_{min}>0$

$V({\overline {x}}(t))-v({\overline {x}}(t_{0}))\geq \underbrace {W_{min}(t-t_{0})} _{\rightarrow +\infty }$, но это невозможно, так как траектория внутри шара $\Rightarrow$ противоречие.

Теорема Четаева о неустойчивости

Теорема. Пусть для системы ${\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {f}}(t,{\vec {x}})(1)$ существует функция $V({\vec {x}})$ заданная и непрерывно дифференцируемая в некоторой $\sigma$ - окрестности начала координат и такая, что

1) $V_{+}=\{{\vec {x}}|V({\vec {x}})>0\}$ имеет в качестве предельной точки ${\vec {x}}={\vec {0}}$

2) $(\nabla V({\vec {x}}),{\vec {f}}(t,{\vec {x}}))\geq \beta (\alpha )>0\forall {\vec {x}}\in V_{\alpha },\forall t\geq t_{0}$. Здесь $V_{\alpha }=\{{\vec {x}}|V({\vec {x}})\geq \alpha >0\}$

Тогда точка покоя системы (1) неустойчива

Доказательство. Предположим что точка покоя устойчива $\exists \delta >0:|{\vec {x}}(t_{0})|<\delta \Rightarrow |{\vec {x}}(t)|<\delta \forall t\geq t_{0}$

${\vec {x}}(t_{0})\in V_{+}{\vec {x}}(t)$ Вычислим ${\frac {d}{dt}}V({\vec {x}}(t))=(\nabla V({\vec {x}}(t)),{\vec {f}}(t,{\vec {x}}(t)))\geq \beta (\alpha )>0,\forall t>t_{0}$ ( $\beta (\alpha )>0$ - в самый начальный момент растет, но положителен, следовательно производные положительны)

Начальная точка находится в $V_{+}$

$V({\vec {x}}(t_{0}))=\alpha >0$. ${\vec {x}}(t_{0})\in V_{\alpha }\Rightarrow {\vec {x}}(t)\in V_{\alpha }\forall t\geq t_{0}$. Функция $V$ начинает расти.

$V({\vec {x}}(r))\geq V({\vec {x}}(t_{0}))=\alpha$

$V({\vec {x}}(t))=V({\vec {x}}(t_{0}))\geq \beta (\alpha )(t-t_{0})\to +\infty$ при $t\to +\infty$

Следовательно $V({\vec {x}}(t))$ тоже должно $\to +\infty$, но она ограниченна - мы получили противоречие.