Алгебра (8 класс)/Квадратные уравнения. Примеры решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения[править]

Уравнение, $ax^{2}+bx+c=0$ ,

где $a$ — любое не равное нулю число — называется первым коэффициентом, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член ( $b$ , $c$ — любые числа), x — неизвестное называется квадратным. $a$

Если в уравнении $a=1$ . то уравнение называют приведенными

Если коэффициент $a$ отрицателен, то мы можем сделать его положительным, умножив обе части уравнения на — 1. Например, умножив обе части уравнения на —1, получим равносильное ему уравнение. Поэтому в дальнейшем для простоты будем всегда предполагать, что $a>0$ .

В частности, b или с, или оба вместе могут быть равны нулю. Тогда уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

$ax^{2}+bx=0,$ если c = 0;

$ax^{2}=c$ , если b = 0;

$ax^{2}=0,$ если b = 0 и c = 0.

Решение неполных квадратных уравнений[править]

Чтобы решить уравнение вида $ax^{2}+bx=0$ , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(ax+b)=0.$

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

$x=0$ или $ax+b=0$ .

Чтобы $ax+b$ было равно нулю, нужно, чтобы

$x=-{\frac {b}{a}}$

Следовательно, уравнение $ax^{2}+bx=0$ имеет два корня:

$x_{1}=0$ и $x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ .

Неполные квадратные уравнения вида $ax^{2}+bx=0$ , где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.