Примеры решения задач [ править ] Определение координат вектора или точки относительно заданного базиса [ править ] Данная задача равносильна задаче выразить неизвестные вектора через векторы базиса.
Смотри также Нахождение вектора по двум точкам
В трапеции
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
|
A
D
→
|
|
B
C
→
|
=
λ
{\displaystyle {\tfrac {|{\overrightarrow {AD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}=\lambda }
e
1
=
A
B
→
,
e
2
=
A
D
→
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\overrightarrow {AB}},\mathbf {e} _{2}={\overrightarrow {AD}}}
определить координаты вектора
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
определить координаты точки
C
{\displaystyle C}
найти координаты вектора
B
H
→
{\displaystyle {\overrightarrow {BH}}}
H
=
(
2
,
3
)
{\displaystyle H=(2,3)}
Координаты вектора
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
C
D
→
=
C
B
→
+
B
A
→
+
A
D
→
=
A
D
→
−
A
B
→
−
B
C
→
=
A
D
→
−
A
B
→
−
1
λ
A
D
→
=
=
{
0
,
1
}
−
{
1
,
0
}
−
{
0
,
1
λ
}
=
{
0
−
1
,
1
−
1
λ
}
=
{
−
1
,
λ
−
1
λ
}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {CD}}&={\overrightarrow {CB}}+{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AD}}-{\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}-{\overrightarrow {AB}}-{\frac {1}{\lambda }}{\overrightarrow {AD}}=\\&=\{0,1\}-\{1,0\}-\left\{0,{\frac {1}{\lambda }}\right\}=\left\{0-1,1-{\frac {1}{\lambda }}\right\}=\left\{-1,{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\right\}\end{aligned}}}
Координаты точки
C
{\displaystyle C}
A
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}
A
C
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
B
→
+
1
λ
A
D
→
=
e
1
+
1
λ
e
2
{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{\lambda }}{\overrightarrow {AD}}=\mathbf {e} _{1}+{\frac {1}{\lambda }}\mathbf {e} _{2}}
Таким образом,
C
=
(
1
,
1
λ
)
{\displaystyle C=\left(1,{\frac {1}{\lambda }}\right)}
Координаты вектора
B
H
→
{\displaystyle {\overrightarrow {BH}}}
B
H
→
=
A
H
→
−
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {BH}}={\overrightarrow {AH}}-{\overrightarrow {AB}}}
B
H
→
=
{
2
−
1
,
3
−
0
}
=
{
1
,
3
}
{\displaystyle {\overrightarrow {BH}}=\{2-1,3-0\}=\{1,3\}}
Связь между системами координат [ править ] Рассмотрим ортогональную и полярную системы координат.
Как видно из рисунка, координаты произвольной точки в этих системах связаны соотношением
{
x
=
r
cos
φ
y
=
r
sin
φ
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}}
{
t
g
φ
=
x
y
r
2
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {x}{y}}\\r^{2}=x^{2}+y^{2}\end{cases}}}
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами [ править ] Смотри также Умножение вектора на число
В некоторой аффинной системе координат заданы векторы
a
=
{
1
,
2
,
5
}
,
b
=
{
2
,
5
,
2
}
,
c
=
{
4
,
0
,
2
}
,
d
=
{
5
,
6
,
2
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{1,2,5\},\mathbf {b} =\{2,5,2\},\mathbf {c} =\{4,0,2\},\mathbf {d} =\{5,6,2\}}
a
+
2
b
{\displaystyle \mathbf {a} +2\mathbf {b} }
4
b
+
1
2
c
−
2
d
{\displaystyle 4\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c} -2\mathbf {d} }
2
a
−
5
b
−
3
c
+
4
d
{\displaystyle 2\mathbf {a} -5\mathbf {b} -3\mathbf {c} +4\mathbf {d} }
a
+
2
b
=
{
1
+
2
⋅
2
,
2
+
2
⋅
5
,
5
+
2
⋅
2
}
=
{
5
,
12
,
9
}
{\displaystyle \mathbf {a} +2\mathbf {b} =\{1+2\cdot 2,2+2\cdot 5,5+2\cdot 2\}=\{5,12,9\}}
4
b
+
1
2
c
−
2
d
=
{
4
⋅
2
+
1
2
⋅
4
−
2
⋅
5
,
4
⋅
5
+
1
2
⋅
0
−
2
⋅
6
,
4
⋅
2
+
1
2
⋅
2
−
2
⋅
2
}
=
{
0
,
8
,
5
}
{\displaystyle 4\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c} -2\mathbf {d} =\{4\cdot 2+{\frac {1}{2}}\cdot 4-2\cdot 5,4\cdot 5+{\frac {1}{2}}\cdot 0-2\cdot 6,4\cdot 2+{\frac {1}{2}}\cdot 2-2\cdot 2\}=\{0,8,5\}}
2
a
−
5
b
−
3
c
+
4
d
=
{
2
⋅
1
−
5
⋅
2
−
3
⋅
4
+
4
⋅
5
,
2
⋅
2
−
5
⋅
5
−
3
⋅
0
+
4
⋅
6
,
2
⋅
5
−
5
⋅
2
−
3
⋅
2
+
4
⋅
2
}
=
{
0
,
3
,
2
}
{\displaystyle 2\mathbf {a} -5\mathbf {b} -3\mathbf {c} +4\mathbf {d} =\{2\cdot 1-5\cdot 2-3\cdot 4+4\cdot 5,2\cdot 2-5\cdot 5-3\cdot 0+4\cdot 6,2\cdot 5-5\cdot 2-3\cdot 2+4\cdot 2\}=\{0,3,2\}}
Даны векторы
a
=
{
1
,
2
,
2
}
,
b
=
{
−
2
,
4
,
2
}
,
c
=
{
6
,
0
,
3
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{1,2,2\},\mathbf {b} =\{-2,4,2\},\mathbf {c} =\{6,0,3\}}
Если векторы линейно зависимы, то существуют такие числа
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
α
1
a
+
α
2
b
+
α
3
c
=
0
{\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {a} +\alpha _{2}\mathbf {b} +\alpha _{3}\mathbf {c} =\mathbf {0} }
Обозначим
β
=
α
2
α
1
{\displaystyle \beta ={\tfrac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}}}}
γ
=
α
3
α
1
{\displaystyle \gamma ={\tfrac {\alpha _{3}}{\alpha _{1}}}}
a
+
β
b
+
γ
c
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} +\gamma \mathbf {c} =\mathbf {0} }
{
1
−
2
β
+
6
γ
,
2
+
4
β
,
2
+
2
β
+
3
γ
}
=
{
0
,
0
,
0
}
{\displaystyle \{1-2\beta +6\gamma ,2+4\beta ,2+2\beta +3\gamma \}=\{0,0,0\}}
что равносильно системе уравнений
{
1
−
2
β
+
6
γ
=
0
2
+
4
β
=
0
2
+
2
β
+
3
γ
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}1-2\beta +6\gamma =0\\2+4\beta =0\\2+2\beta +3\gamma =0\end{cases}}}
Из второго уравнения
β
=
−
1
2
{\displaystyle \beta =-{\tfrac {1}{2}}}
γ
=
−
1
3
{\displaystyle \gamma =-{\tfrac {1}{3}}}
γ
=
−
1
3
{\displaystyle \gamma =-{\tfrac {1}{3}}}
В ортонормированной системе координат даны два вектора
a
=
{
2
,
5
,
14
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{2,5,14\}}
b
=
{
14
,
5
,
2
}
{\displaystyle \mathbf {b} =\{14,5,2\}}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
Обозначим искомый вектор
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
c
=
{
c
x
,
c
y
,
0
}
{\displaystyle \mathbf {c} =\{c_{x},c_{y},0\}}
Проектирование вектора равносильно разложению его на сумму
a
=
c
+
λ
b
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} +\lambda \mathbf {b} }
{
2
,
5
,
14
}
=
{
c
x
,
c
y
,
0
}
+
λ
{
14
,
5
,
2
}
{\displaystyle \{2,5,14\}=\{c_{x},c_{y},0\}+\lambda \{14,5,2\}}
{
c
x
+
14
λ
=
2
c
y
+
5
λ
=
5
2
λ
=
14
{\displaystyle {\begin{cases}c_{x}+14\lambda =2\\c_{y}+5\lambda =5\\2\lambda =14\end{cases}}}
{
c
x
=
−
98
c
y
=
−
30
λ
=
7
{\displaystyle {\begin{cases}c_{x}=-98\\c_{y}=-30\\\lambda =7\end{cases}}}
c
=
{
−
98
,
−
30
,
0
}
{\displaystyle \mathbf {c} =\{-98,-30,0\}}
Задачи для самостоятельного решения [ править ] Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения .
Основание прямой призмы
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
{\displaystyle ABCDA'B'C'D'}
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
D
B
C
=
λ
{\displaystyle {\tfrac {AD}{BC}}=\lambda }
∠
D
{\displaystyle \angle D}
B
H
{\displaystyle BH}
K
{\displaystyle K}
D
D
′
{\displaystyle DD'}
M
{\displaystyle M}
C
′
D
′
{\displaystyle C'D'}
e
1
=
A
D
→
,
e
2
=
A
B
→
,
e
3
=
A
A
′
→
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\overrightarrow {AD}},\mathbf {e} _{2}={\overrightarrow {AB}},\mathbf {e} _{3}={\overrightarrow {AA'}}}
определить координаты точек
B
′
,
D
′
,
H
,
M
{\displaystyle B',D',H,M}
определить координаты векторов
H
C
′
→
,
B
M
→
,
H
M
→
,
C
K
→
{\displaystyle {\overrightarrow {HC'}},{\overrightarrow {BM}},{\overrightarrow {HM}},{\overrightarrow {CK}}}
Найти связь между прямоугольной, цилиндрической и сферической системами координат.
Вычислить для векторов
a
=
{
6
,
5
,
9
}
,
b
=
{
3
,
8
,
1
}
,
c
=
{
6
,
9
,
3
}
,
d
=
{
0
,
5
,
7
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{6,5,9\},\mathbf {b} =\{3,8,1\},\mathbf {c} =\{6,9,3\},\mathbf {d} =\{0,5,7\}}
4
a
+
2
3
c
{\displaystyle 4\mathbf {a} +{\frac {2}{3}}\mathbf {c} }
2
a
−
2
b
+
3
d
{\displaystyle 2\mathbf {a} -2\mathbf {b} +3\mathbf {d} }
b
+
4
c
−
6
d
{\displaystyle \mathbf {b} +4\mathbf {c} -6\mathbf {d} }
5
a
−
b
+
1
3
c
−
3
d
{\displaystyle 5\mathbf {a} -\mathbf {b} +{\frac {1}{3}}\mathbf {c} -3\mathbf {d} }
Определить являются ли эти линейно зависимыми следующие тройки векторов.
a
=
{
6
,
4
,
2
}
,
b
=
{
−
9
,
6
,
3
}
,
c
=
{
−
3
,
6
,
3
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{6,4,2\},\mathbf {b} =\{-9,6,3\},\mathbf {c} =\{-3,6,3\}}
a
=
{
6
,
−
18
,
12
}
,
b
=
{
−
8
,
24
,
−
16
}
,
c
=
{
8
,
7
,
3
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{6,-18,12\},\mathbf {b} =\{-8,24,-16\},\mathbf {c} =\{8,7,3\}}
В ортонормированной системе координат даны два вектора
a
=
{
7
,
5
,
1
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{7,5,1\}}
b
=
{
4
,
6
,
5
}
{\displaystyle \mathbf {b} =\{4,6,5\}}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
O
x
z
{\displaystyle Oxz}
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
