Перейти к содержанию

Теория вероятностей и математическая статистика/Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Материал из Викиверситета

Одной из основных задач математической статистики является задача оценки неизвестного параметра распределения генеральной совокупности по выборке.

Точечная оценка

[править]

Пусть изучается некоторый признак генеральной совокупности (случайная величина ). Параметром распределения случайной величины называется числовая характеристика этой случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и т. д.). Требуется по выборке , полученной в результате n наблюдений, оценить неизвестный параметр .

Точечной оценкой параметра называется функция , построенная по выборке (ее также называют статистикой). Заметим, что оценка является случайной величиной.

Оценку называют несмещенной, если . В противном случае оценку называют смещенной.

Пусть наблюдаются варианты с частотами соответственно, — объем выборки.

Приведем некоторые точечные оценки параметров генеральной совокупности:

  1. Выборочное среднее вычисляется по формуле . Выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания исследуемого признака.
  2. Выборочная дисперсия вычисляется по формуле . Она является смещенной оценкой дисперсии исследуемого признака. Поэтому в качестве несмещенной оценки используют исправленную выборочную дисперсию

Интервальная оценка параметров генеральной совокупности

[править]

Интервал , покрывающий с вероятностью истинное значение параметра , называется доверительным интервалом, а вероятность доверительной вероятностью (или надежностью), т. е. .

Для симметричного интервала называется точностью.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания   a   нормального распределения

[править]

Пусть исследуемый признак генеральной совокупности распределен нормально.

  1. Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочному среднему значению при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал , где удовлетворяет уравнению . Значение находится из таблицы приложения 2.
  2. При неизвестном среднем квадратическом отклонении используют интервал , где — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, находится из таблицы приложения 3 по данным и , .

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения

[править]

Интервальной оценкой с надежностью среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению генеральной совокупности служит доверительный интервал , ; , , где значение находится из таблицы приложения приложения 4 по данным и .

Примеры

[править]

Пример 1

[править]

В результате шести измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 25; 23; 21; 26; 22; 23.

  1. Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии измерений.
  2. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. Найти границы, в которых с вероятностью заключено среднее значение измерений, если:
    1. среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения (точность прибора) равно 2;
    2. среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения неизвестно.

Решение:

1. Несмещенной оценкой генерального среднего является .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является

2. Найдем интервальные оценки для генерального среднего.

2.1. Среднее квадратическое отклонение равно . Следовательно, доверительный интервал для среднего значения признака имеет вид , где определяется из уравнения .

Получим . Из таблицы приложения 2 находим, что и или .

2.2. Доверительным интервалом для среднего значения признака при неизвестном среднем квадратическом отклонении служит интервал .

Здесь , , . Значение находится из таблицы приложения 3, .

Получим доверительный интервал 23,333 + \frac{1.862 \cdot 2.57}{\sqrt{6}}или .

Упражнения

[править]

1 При каком условии оценку называют несмещенной?

2 По какой формуле вычисляется выборочное среднее?