Алгебра и начала анализа

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
Основная статья: Факультет математики

Планируемые курсы:

Действительные (вещественные) числа

Целые и рациональные числа

целые числа:0, ±1, ±2, ±3...

рациональные числа т.е числа вида m/n

Действительные числа

Прогрессия

Арифметический корень

Степень

Уравнения с одним неизвестным

Основная теорема алгебры

Уравнение N-го порядка имеет, по меньшей мере, один корень в поле комплексных чисел. Следствием из данной теоремы является утверждение о том, что уравнение N-го порядка имеет ровно N корней с учётом их кратности.

Линейные уравнения

Имеют единственный корень

Квадратные уравнения

Корни определяются формулой при

Корни определяются формулой при

Корни определяются формулой при


Есть ещё один способ рещения квадратных уравнений при . Для этого используется теорема Виета.

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1)если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2)если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.


Часные случаи:

1.

или

2.

3.

Биквадратные уравнения

Подстановкой сводятся к квадратному уравнению

Кубические уравнения

При вещественных коэффициентах a, b, c, d имеют хотя бы один вещественный корень. Для нахождения точных значений корней в радикалах может быть использована формула Кардано. Однако вычисления по этому методу довольно громоздки.

Если уравнение имеет рациональный корень , можно подобрать его и далее, разделив левую часть исходного уравнения на двучлен , свести уравнение к квадратному.

Уравнения высших степеней

Уравнения 5-го порядка и выше в общем случае неразрешимы в радикалах. Если коэффициенты уравнения целочисленны, то можно попытаться подобрать рациональный корень и понизить степень уравнения. В частности, целые корни, если они есть, являются делителями свободного члена.

Иррациональные уравнения

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Тригонометрические уравнения

Неравенства с одним неизвестным

Линейные неравенства

Квадратные неравенства

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Тригонометрические неравенства

Функции

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические, обратные тригонометрические функции

Тригонометрические формулы