Алгебра (8 класс)/Квадратные уравнения. Примеры решения квадратных уравнений
Квадратные уравнения
[править]Уравнение, ,
где — любое не равное нулю число — называется первым коэффициентом, — второй коэффициент, — свободный член (, — любые числа), x — неизвестное называется квадратным.
Если в уравнении . то уравнение называют приведенными
Если коэффициент отрицателен, то мы можем сделать его положительным, умножив обе части уравнения на — 1. Например, умножив обе части уравнения на —1, получим равносильное ему уравнение. Поэтому в дальнейшем для простоты будем всегда предполагать, что .
В частности, b или с, или оба вместе могут быть равны нулю. Тогда уравнение называется неполным квадратным уравнением.
Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:
если c = 0;
, если b = 0;
если b = 0 и c = 0.
Решение неполных квадратных уравнений
[править]Чтобы решить уравнение вида , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся за скобки:
Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:
или .
Чтобы было равно нулю, нужно, чтобы
Следовательно, уравнение имеет два корня:
и .
Неполные квадратные уравнения вида , где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.
Чтобы решить уравнение вида
,
делим обе части на
.
В случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.
В случае уравнение будет иметь два противоположных корня:
,
.
Неполное квадратное уравнение вида , где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.
Примеры решения квадратных уравнений
[править]На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны .
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась.
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь
Обезьян там было в роще?
- количество обезьян в стае
- обезьян резвились в роще
12 обезьян - криком воздух оглашали
Найти: х=? обезьян
Умножаем обе части на 64
Оба значения соответствуют условию
Ответ: в стае, 48 или 16 обезьян