Перейти к содержанию

Алгебра (8 класс)/Квадратные уравнения. Примеры решения квадратных уравнений

Материал из Викиверситета

Квадратные уравнения

[править]

Уравнение, ,

где — любое не равное нулю число — называется первым коэффициентом, — второй коэффициент, — свободный член (, — любые числа), x — неизвестное называется квадратным.

Если в уравнении . то уравнение называют приведенными

Если коэффициент отрицателен, то мы можем сделать его положительным, умножив обе части уравнения на — 1. Например, умножив обе части уравнения на —1, получим равносильное ему уравнение. Поэтому в дальнейшем для простоты будем всегда предполагать, что .

В частности, b или с, или оба вместе могут быть равны нулю. Тогда уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

если c = 0;

, если b = 0;

если b = 0 и c = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

[править]

Чтобы решить уравнение вида , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся за скобки:

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

или .

Чтобы было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение имеет два корня:

и .

Неполные квадратные уравнения вида , где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Чтобы решить уравнение вида

,

делим обе части на

.

В случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

В случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

,

.

Неполное квадратное уравнение вида , где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Примеры решения квадратных уравнений

[править]
(Старинная индийская задача. Задача Бхаскары)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны .

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь

Обезьян там было в роще?

Решение

- количество обезьян в стае

- обезьян резвились в роще

12 обезьян - криком воздух оглашали

Найти: х=? обезьян

Умножаем обе части на 64

Оба значения соответствуют условию

Ответ: в стае, 48 или 16 обезьян