Алгебра (8 класс)/Кольцо (алгебра)

Определение

Коммутативное кольцо с 1 — множество $R$, на котором заданы две бинарные операции: $+$ и $\times$ (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых $a,b,c\in R$:

1. $a+b=b+a$ — коммутативность сложения;
2. $a+(b+c)=(a+b)+c$ — ассоциативность сложения;
3. $\mathrm{\exists }0\in R(a+0=0+a=a)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. $\mathrm{\forall }a\in R\mathrm{\exists }b\in R(a+b=b+a=0)$ — существование противоположного (обратного) элемента относительно сложения;
5. $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ — ассоциативность умножения;
6. $\{\begin{array}{c}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\ (b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{array}$ — дистрибутивность.

• Коммутативность сложения:

$a+b=b+a.$

• Коммутативность умножения:

$a\cdot b=b\cdot a.$

• Ассоциативность сложения:

$(a+b)+c=a+(b+c).$

• Ассоциативность умножения:

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

$\{\begin{array}{c}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\ (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{array}.$