Множество с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения и умножения (, то есть ) называется полем, если выполнены следующие аксиомы:
Коммутативность сложения: .
Ассоциативность сложения: .
Существование нулевого элемента: .
Существование противоположного элемента: .
Коммутативность умножения: .
Ассоциативность умножения: .
Существование единичного элемента: .
Существование обратного элемента для ненулевых элементов: .
Дистрибутивность умножения относительно сложения: .
Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению над ; аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению над ; аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.
Аксиомы 1—7 и 9 — это определение коммутативного коммутативное кольца с единицей.