Задача Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона. Принцип максимума

Задача о прогибе мембраны в положении равновесия

Мембрана - это натянутая плёнка, которая сопротивляется растяжению, но не сопротивляется изгибу.

На мембрану подействуем силой перпендикулярной плоскости $x_{1}x_{2}$. Опишем форму мембраны функцией $U=U(x_{1},x_{2})$. Наложим два ограничения

1) Изгиб мембраны не очень сильный (она недалеко отошла от положения равновесия). Математически ${\frac {\partial U}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial U}{\partial x_{2}}}$ малы (можем пренебречь более высокими степенями этих производных) (иначе уравнение было бы нелинейным)

2) При действии силы точки мембраны могут двигаться лишь перпендикулярно плоскости $x_{1}x_{2}$

Обозначим $f(x_{1},x_{2})$ - плотность внешней силы, которая привела мембрану из исходного состояния в такое положения равновесия. В дальнейшем воспльзуемся принципом математики: принципом возможных перемещений. Согласно этому принципу в состоянии равновесия сумма элементарных работ всех действующий на систему сил при любом возможном (допустимом наложенными связями) перемещениям должна равняться нулю.

На элемент действует сила $f(x_{1},x_{2})dx_{1}dx_{2}$. Для перемещения этого элемента требуется работа $\iint \limits _{\Omega }f(x_{1},x_{2})(U(x_{1},x_{2})-0)dx_{1}dx_{2}$

Мембрана сопротивляется растяжению. Найдём работу сил упругости:

$T>0$ - коэффициент пропорциональности (натяжения мембраны). Работа внешней силы $T\Delta S$ ($\Delta S$ - изменение площади мембраны). $T$ не зависит от точки мембраны. Работа сил упругости равна работе внешних сил по растяжению мембраны взятой с обратным знаком.

$\iint \limits _{\Omega }{\sqrt {1+({\frac {\partial U}{\partial x_{1}}})^{2}+({\frac {\partial U}{\partial x_{2}}})^{2}}}dx_{1}dx_{2}-\iint \limits _{\Omega }1dx_{1}dx_{2}$ (новая площадь минус старая площадь)

Работа силы упругости: $-T\iint \limits _{\Omega }[{\sqrt {1+({\frac {\partial U}{\partial x_{1}}})^{2}+({\frac {\partial U}{\partial x_{2}}})^{2}}}-1]dx_{1}dx_{2}$ Разложим корень в ряд Тейлора (так как ${\frac {\partial U}{\partial x_{1}}}$ и ${\frac {\partial U}{\partial x_{2}}}$ малы), ${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}$ при $x\to 0$ (члены более высокого порядка отбрасываем). Работа сил упругости примет вид ${\frac {-T}{2}}\iint \limits _{\Omega }[({\frac {\partial U}{\partial x_{1}}})^{2}+({\frac {\partial U}{\partial x_{2}}})^{2}]dx_{1}dx_{2}$

Работа всех сил: $A(U)=\iint \limits _{\Omega }[{\frac {-T}{2}}({\frac {\partial U}{\partial x_{1}}})^{2}+({\frac {\partial U}{\partial x_{2}}})^{2}+f(x_{1},x_{2})U]dx_{1}dx_{2}(1)$

Если мы будем рассматривать элементарные работы (будем добавлять вариации $\delta U(x_{1},x_{2})$, то надо найти вариацию функционала)

$A(U+\delta U)=\iint \limits _{\Omega }[-T({\frac {\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta U}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial U}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial \delta U}{\partial x_{2}}})+f(x_{1},x_{2})\delta U]dx_{1}dx_{2}(2)$

$\iint \limits _{\Omega }[({\frac {\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\delta U+{\frac {\partial U}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\delta U)]dx_{1}dx_{2}=$ (интегрируем по частям) $=\int \limits _{\partial \Omega }{\frac {\partial U}{\partial n}}\delta Udl-\iint \limits _{\Omega }[{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{2}^{2}}}]\delta Udx_{1}dx_{2}$, где $n$ - внешняя нормаль к границе.

$dl$ - криволинейный интеграл первого рода по границе. Подставляем этот интеграл в формулу (2) $0=\delta A=-T\int \limits _{\partial \Omega }{\frac {\partial U}{\partial n}}\delta Udl+\iint \limits _{\Omega }[T\Delta U+f]\delta Udx_{1}dx_{2}(3)$, где $\Delta$ - оператор Лапласса. Какие вариации $\delta U$ допустимы? Ограничения на $\delta U$ обычно есть только на границе $\delta U$. Внутри области $\Omega :\delta U$ - произвольная дифференцируемая функция.

$(3)\Rightarrow T\Delta U_{f}=0(4),x\in \Omega$ - уравнение Пуассона.

Заметим, что работа $(1)$ с точностью до знака совпадает с потенциальной энергией мембраны. В положении равновесия потенциальная энергия минимальна (из физики), следовательно первая вариация равна нулю в точке экстремума. Осталось обнулить первое слагаемое в $(3)$.

1) Закрепленная мембрана $\partial \Omega :x_{1}=x_{1}(\tau ),x_{2}=x_{2}(\tau )$, где $\tau$ - параметр. Закрепим мембрану на некоторой пространственной кривой, которая проектируется на $\partial \Omega$. Кривая $x_{1}=x_{1}(\tau ),x_{2}=x_{2}(\tau ),U=\phi (\tau )$. Тогда $\delta U|_{\partial \Omega }=0\Rightarrow$ первый интеграл в (3) равен нулю. Получаем задачу Дирехле для уравнения Пуассона.

${\begin{cases}\Delta U=-{\frac {f}{T}}\forall x\in \Omega \\U|_{\partial \Omega }=\phi (tau)\end{cases}}$

2) Свободная мембрана (концы не закреплены) $\delta U$ - любое. Тогда ${\frac {\partial U}{\partial n}}|_{\partial \Omega }=0$ - чтобы обнулить слагаемое в (3)

3) Условие Неймана: предположим что на границе области действует положительная сила, перпендикулярная плоскости $(x_{1},x_{2})$ с линейной плотностью $f_{1}(U)$. Тогда в формуле (1) появится дополнительное слагаемое $\iint \limits _{d\Omega }f_{1}(U)dUdl$, а в формулу (3) идет $\int \limits _{\partial \Omega }f_{1}(U)\delta Udl$. Рассмотрим случай: $f_{1}$ не зависит от $U$. в (3) получим $\int \limits _{\partial \Omega }(-T{\frac {\partial U}{\partial n}}+f_{1})\delta Udl$. $\delta U$ - любое $\Rightarrow (-T{\frac {\partial U}{\partial n}}-f_{1})|_{\partial \Omega }=0$

4) Упругое закрепление и $f_{1}$ зависит от $U$. $f_{1}(U)=kU$. В (3) получим: $(-T{\frac {\partial U}{\partial n}}kU)|_{\partial \Omega }=0$ - условие третьего рода.

Принцип максимума для гармонических функций

Гармоническая функция - вещественная функция $U$, дважды непрерывно дифференцируемая в евклидовом пространстве D, удовлетворяющая уравнению Лапласа: $\Delta U=0$, где $\Delta =\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$ - оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем переменным.

$\Omega$ - область, $U(x)$ - гармоническая в $\Omega$ функция. $M$ - точная верхняя грань $U(x)$ в $\Omega$.$m$ - точная нижняя грань $U(x)$ в $\Omega$.

Теорема Принцип максимума.  Отличная от постоянной, гармоническая в области $\Omega$ функция $U(x)$ ни в какой точке $x\in \Omega$ не может равняться $M$ и $m$.

Доказательство. (Проведем рассуждения для $M$, для $m$ - аналогично)

$M=+\infty$ - теорема верна.

$M<+\infty$: По условию теормемы $U(x)\not =const$. Предположим, что $\exists x_{0}\in \Omega :U(x_{0})=M$. Тогда из формулы (5) вытекает: $U(x)\equiv M\forall x:|x-x_{0}|<\varepsilon$, при условии что $\{|x-x_{0}|<\varepsilon \}\in \Omega$. $U(x)>M$ - неверно, так как $M$ - точная верхняя грань. Покажем, что $U(x)<M$ - неверно. Предположим, что $\exists y:U(y)<M$, так как $U(x)$ - непрерывна, то $U(x)<M$ при $|x-y|<\delta$. Из формулы (5) ($U(x_{0})={\frac {n}{R^{n}\sigma _{n}}}\int \limits _{|x-x_{0}|=\rho }U(x)dSd\rho$)$\Rightarrow M>M$ - противоречие. $\Rightarrow U(x)\equiv M,\forall x\in |x-x_{0}|<\varepsilon$. Рассмотрим $z$ - произвольная фиксированная точка из $\Omega$, $l$ - непрерывная кривая, соединяющая $x_{0}$ и $z$. Будем считать, что $\varepsilon$ не превосходит расстояния $\rho (l,\partial \Omega )$. Двигаем шарик вдоль кривой $l$ из $x_{0}$ в $z$. В каждом из шариков $U(x)\equiv M\Rightarrow U(z)=M\Rightarrow U(x)\equiv M\forall x\in \Omega$ - противоречие (функция не константа).

Следствие. Если $U(x)\not =const$ - гармоническая функция в ограниченной области $\Omega$, являющаяся непрерывной в ${\bar {\Omega }}$, то $\min _{y\in \partial \Omega }U(y)<U(x)<\max _{y\in \partial \Omega }U(y)\forall x\in \Omega$

Доказательство. Так как ${\bar {\Omega }}$ - компакт $\Rightarrow U(x)$ достигает на нем минимума и максимума в ${\bar {\Omega }}$, но они не могут достигаться в $\Omega \Rightarrow$ они достигаются на $\partial \Omega$

Следствие. Для функции $U(x)$ гармонической в области $\Omega$ непрерывной в ${\bar {\Omega }}$ выполняется: $|U(x)|\leq \max _{y\in \partial \Omega }|U(y)|\forall x\in {\bar {\Omega }}$

Если $U(x)=0$ на $\partial \Omega \Rightarrow U(x)\equiv 0$ в ${\bar {\Omega }}$

Единственность решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Непрерывная зависимость решения задачи Дирихле от граничных условий

$\Omega$ - ограниченная область, $\partial \Omega$ - ее граница, $f(x)$ непрерывна на $\partial \Omega$

${\begin{cases}\Delta U=0\forall x\in \Omega \\U(x)=f(x),x\in \partial \Omega \end{cases}}$

Это задача Дирихле для уравнения Лапласа.

Требуется найти $U(x)\in c^{3}(\Omega ),U(x)\in c{\bar {\Omega }}$

Из следствия 2 вытекает единственность решения: пусть есть два решения $U_{1}$ и $U_{2}$. Рассмотрим $U=U_{1}-U_{2}:U=f-f=0$ на $\partial \Omega$. Из следствия 2 $\Rightarrow U(x)\equiv 0$ в ${\bar {\Omega }}\Rightarrow U_{1}\equiv U_{2}$

Докажем непрерывную зависимость решения от граничных условий: Пусть есть две гармонических функции $f_{1}$ и $f_{2}:\max {y\in \partial \Omega }|U_{1}(x)U_{2}(x)|<\varepsilon$, из следствия 2: $f_{2}:\max {x\in \partial \Omega }|U_{1}(x)U_{2}(x)|<\varepsilon$, где $U_{1}$ - решение, соответствующее $f_{1}$, $U_{2}$ - соответствующее $f_{2}\Rightarrow$ есть непрерывная зависимость от начальных условий.

Единственность решение задачи Неймана для уравнения Лапласа. Условие разрешимости задачи Неймана.

$\Omega$ - ограниченная область. Рассмотрим задачу

${\begin{cases}\Delta U=0\forall x\in \Omega \\{\frac {\partial U}{\partial n}}|_{\partial \Omega }=\psi ,x_{0}\in \partial \Omega :{\frac {\partial U}{\partial n}}|_{x=x_{0}}>0\end{cases}}$

$\Rightarrow U=const\Rightarrow$ задача Неймана для уравнения Лапласа имеет единственное решение с точностью до константы. Получим необходимые условия разрешимости задачи Неймана. Пусть $U(x)\in c^{1}({\bar {\Omega }})$, тогда из свойства гармонических функций вытекает $\int \limits _{\partial \Omega }{\frac {\partial U}{\partial n}}dS=0\Rightarrow$ необходимое условие разрешимости: $\int \limits _{\partial \Omega }\psi dS=0$ (стационарный поток тепла через границу области внутри которой нет тепла равен нулю)

Замечание. Можно доказать, что записанное условие разрешимости является достаточным.