Задача Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона. Принцип максимума

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Задача о прогибе мембраны в положении равновесия[править]

Мембрана - это натянутая плёнка, которая сопротивляется растяжению, но не сопротивляется изгибу.

На мембрану подействуем силой перпендикулярной плоскости . Опишем форму мембраны функцией . Наложим два ограничения

1) Изгиб мембраны не очень сильный (она недалеко отошла от положения равновесия). Математически малы (можем пренебречь более высокими степенями этих производных) (иначе уравнение было бы нелинейным)

2) При действии силы точки мембраны могут двигаться лишь перпендикулярно плоскости

Обозначим - плотность внешней силы, которая привела мембрану из исходного состояния в такое положения равновесия. В дальнейшем воспльзуемся принципом математики: принципом возможных перемещений. Согласно этому принципу в состоянии равновесия сумма элементарных работ всех действующий на систему сил при любом возможном (допустимом наложенными связями) перемещениям должна равняться нулю.

На элемент действует сила . Для перемещения этого элемента требуется работа

Мембрана сопротивляется растяжению. Найдём работу сил упругости:

- коэффициент пропорциональности (натяжения мембраны). Работа внешней силы ( - изменение площади мембраны). не зависит от точки мембраны. Работа сил упругости равна работе внешних сил по растяжению мембраны взятой с обратным знаком.

(новая площадь минус старая площадь)

Работа силы упругости: Разложим корень в ряд Тейлора (так как и малы), при (члены более высокого порядка отбрасываем). Работа сил упругости примет вид

Работа всех сил:

Если мы будем рассматривать элементарные работы (будем добавлять вариации , то надо найти вариацию функционала)

(интегрируем по частям) , где - внешняя нормаль к границе.

- криволинейный интеграл первого рода по границе. Подставляем этот интеграл в формулу (2) , где - оператор Лапласса. Какие вариации допустимы? Ограничения на обычно есть только на границе . Внутри области - произвольная дифференцируемая функция.

- уравнение Пуассона.

Заметим, что работа с точностью до знака совпадает с потенциальной энергией мембраны. В положении равновесия потенциальная энергия минимальна (из физики), следовательно первая вариация равна нулю в точке экстремума. Осталось обнулить первое слагаемое в .

1) Закрепленная мембрана , где - параметр. Закрепим мембрану на некоторой пространственной кривой, которая проектируется на . Кривая . Тогда первый интеграл в (3) равен нулю. Получаем задачу Дирехле для уравнения Пуассона.

2) Свободная мембрана (концы не закреплены) - любое. Тогда - чтобы обнулить слагаемое в (3)

3) Условие Неймана: предположим что на границе области действует положительная сила, перпендикулярная плоскости с линейной плотностью . Тогда в формуле (1) появится дополнительное слагаемое , а в формулу (3) идет . Рассмотрим случай: не зависит от . в (3) получим . - любое

4) Упругое закрепление и зависит от . . В (3) получим: - условие третьего рода.

Принцип максимума для гармонических функций[править]

Гармоническая функция - вещественная функция , дважды непрерывно дифференцируемая в евклидовом пространстве D, удовлетворяющая уравнению Лапласа: , где - оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем переменным.

- область, - гармоническая в функция. - точная верхняя грань в . - точная нижняя грань в .

Теорема Принцип максимума.  Отличная от постоянной, гармоническая в области функция ни в какой точке не может равняться и .
Доказательство. (Проведем рассуждения для , для - аналогично)

- теорема верна.

: По условию теормемы . Предположим, что . Тогда из формулы (5) вытекает: , при условии что . - неверно, так как - точная верхняя грань. Покажем, что - неверно. Предположим, что , так как - непрерывна, то при . Из формулы (5) () - противоречие. . Рассмотрим - произвольная фиксированная точка из , - непрерывная кривая, соединяющая и . Будем считать, что не превосходит расстояния . Двигаем шарик вдоль кривой из в . В каждом из шариков - противоречие (функция не константа).


Следствие. Если - гармоническая функция в ограниченной области , являющаяся непрерывной в , то


Доказательство. Так как - компакт достигает на нем минимума и максимума в , но они не могут достигаться в они достигаются на


Следствие. Для функции гармонической в области непрерывной в выполняется:


Если на в

Единственность решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Непрерывная зависимость решения задачи Дирихле от граничных условий[править]

- ограниченная область, - ее граница, непрерывна на

Это задача Дирихле для уравнения Лапласа.

Требуется найти

Из следствия 2 вытекает единственность решения: пусть есть два решения и . Рассмотрим на . Из следствия 2 в

Докажем непрерывную зависимость решения от граничных условий: Пусть есть две гармонических функции и , из следствия 2: , где - решение, соответствующее , - соответствующее есть непрерывная зависимость от начальных условий.

Единственность решение задачи Неймана для уравнения Лапласа. Условие разрешимости задачи Неймана.

- ограниченная область. Рассмотрим задачу

задача Неймана для уравнения Лапласа имеет единственное решение с точностью до константы. Получим необходимые условия разрешимости задачи Неймана. Пусть , тогда из свойства гармонических функций вытекает необходимое условие разрешимости: (стационарный поток тепла через границу области внутри которой нет тепла равен нулю)

Замечание. Можно доказать, что записанное условие разрешимости является достаточным.