Задача Коши

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определения[править]

Задача Коши, , - начальные данные:

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем , являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:

является функция , которая определена на <a,b> и

  1. (непрерывна)
  2. <a,b>
  3. подстановка превращает уравнение (3) в тождество.


Лемма. Функция является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.


Доказательство. Пусть - решение задачи Коши и

Проинтегрируем тождество от до :

Теперь пусть - решение интегрального уравнения, покажем, что она есть решение дифф. уравнения и удовлетворяет начальному условию. Для этого вначале подставим в (3) :

Продифференцируем (3) и получим (1)


Определение. , заданная на , удовлетворяет условию Липшица, если


Заметим, что если функция удовлетворяет условию Липшица, то она является равномерно непрерывной на (для док-ва замечания надо взять )

Определение. Последовательность функций является равномерно ограниченной если


Определение. Последовательность функций называется равнестепенно непрерывной, если


Лемма Асколи-Арцела. Теорема Пеано[править]

Лемма Асколи-Арцела.  Из любой равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной последовательности функций можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность


Доказательство. Пусть - равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. - разделим прямоугольник на вертикальные полосы высоты и длины

График каждой из функций может находиться не более чем в двух смежных парах прямоугольников высоты . В каждой вертикальной полосе есть пара прямоугольников, в которых располагается бесконечное множество графиков, так как множество прямоугольников конечно, а подпоследовательностей бесконечно. Выберем подпоследовательность функций в этих прямоугольниках

, теперь будем уменьшать . возьмём и выберем

,

Диагональный процесс Кантора - берем элементы на главной диагонали

выбираем номер p: , тогда


Теорема Пеано.  Пусть функция определена и непрерывна в области G и пусть точка

Тогда существует решение задачи Коши определенное на некотором отрезке

Доказательство. -окрестность точки . .

Функция непрерывна на замкнутом множестве, след-но ограничена на нём: . Зафиксируем некоторое N и рассмотрим разбиение отрезка: . Рисуем ломаную Эйлера через , такую что угловой коэффициент равен на . Ломаная не может выйти за пределы , так как чтобы она вырвалась угол наклона должен быть больше L, а это невозможно. Получаем последовательность .

На

Последовательность ограничена: (1) Заметим также, что последовательность равностепенно непрерывна: Значит по лемме Асколи-Арцела на , здесь - решение задачи Коши.

Зафиксируем некоторую точку .Если начать менять , то возникает картина меняющихся подотрезков, но каждый раз будет принадлежать некоторому отрезку

(вместо поставим предельную функцию )

Первое слагаемое в сумме при стремлении длины отрезка к нулю будет стремиться к интегралу: .

Покажем что . Заметим, что f непрерывна на всём G непрерывна на треугольнике (1), а так как треугольник - ограниченное множество, f равномерно непрерывна на (1) В частности, если и совпадают, разность как только .

может быть оценен при . Это говорит о том, что

Теперь перейдем к передлу, когда , это равненство справедливо для


Единственность решения задачи Коши[править]

Определение. Функция f удовлетворяет локальному в области G условию Липшица по переменной y, если окрестность и постоянная


Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Липшица, тогда решение задачи Коши единственное
Доказательство. От противного. Пусть существует два решения , определённые на и . В точке решения по условию задачи Коши, но . Пусть .

Рассмотрим точку всех точек , таких что .

Множество точек непустое и ограниченное.

Поскольку непрерывны, супремум - максимум, значит и {}

на (1)

на (2)

В силу условия теоремы удовлетворяет локальному условию Липшица некоторая окрестность верно как только

Вычтем (1) из (2): на Проинтегрируем неравенство на :

Заменим отрезок на меньший

. Выберем , чтобы оказалось . Получаем что , чего быть не может.


Определение. Функция удовлетворяет локальному в области G условию Осгуда по переменной , если диаметра и функция такие что


Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Осгуда, тогда решение задачи Коши единственно.
Доказательство. Пусть у задачи Коши 2 решения: Повторяя доказательство предыдущего утверждения, приходим к тому, что функциия удовлетворяет на отрезке тождеству на .

Поделим обе части неравенства на : всюду на

на . Проинтегрируем на :

. Устремим . , второй интеграл - противоречие.