Задача Коши

Определения

Задача Коши, $x_{0}$, $y_{0}$ - начальные данные:

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=f(x,y),&{\text{(1)}}\\y(x_{0})=y_{0};&{\text{(2) начальное условие}}\end{cases}}$

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем $x_{0}$, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:

$y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(s,y(s))ds,{\text{(3)}}$

является функция $y=\phi (x)$, которая определена на <a,b>$\ni x_{0}$ и

1. $\phi \in C<a,b>$ (непрерывна)
2. $(x,\phi (x))\in G\forall x\in$ <a,b>
3. подстановка $y=\phi (x)$ превращает уравнение (3) в тождество.

Лемма. Функция $y=\phi (x)$ является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.

Доказательство. Пусть $y=\phi (x)$ - решение задачи Коши $\Rightarrow {\frac {d\phi (x)}{dx}}\equiv f(x,\phi (x))$ и $\phi (x_{0})=y_{0}$

Проинтегрируем тождество от $x_{0}$ до $x$:

$\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {d\phi }{ds}}(s)dx=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(s,\phi (s))ds\Rightarrow \phi (x)-\phi (x_{0})=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(s,\phi (s))ds\Rightarrow \phi (x)=y_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}f(s,\phi (s))ds,\forall x\in <a,b>$

Теперь пусть $y=\phi (x)$ - решение интегрального уравнения, покажем, что она есть решение дифф. уравнения и удовлетворяет начальному условию. Для этого вначале подставим в (3) $x=x_{0}$: $y(x_{0})=y_{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}}f(s,y(s)ds=y_{0}{\text{ - начальное условие}}$

Продифференцируем (3) и получим (1)

Определение. $y=\phi (x)$, заданная на $\left[a,b\right]$, удовлетворяет условию Липшица, если $\exists L>0:|\phi (x')-\phi (x'')|\leq L|x'-x''|\forall x',x''\in \left[a,b\right]$

Заметим, что если функция удовлетворяет условию Липшица, то она является равномерно непрерывной на $[a,b]\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists \delta (\varepsilon )>0:\forall x',x''\in [a,b],|x'-x''|<\delta (\varepsilon ):|\phi (x')-\phi (x'')|<\varepsilon$ (для док-ва замечания надо взять $\delta (\varepsilon )={\frac {\varepsilon }{L}}$)

Определение. Последовательность функций $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ является равномерно ограниченной если $\exists C>0:|\varphi _{n}(x)|<C\forall x\in [a,b],\forall n\geq 1$

Определение. Последовательность функций $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ называется равнестепенно непрерывной, если $\forall \varepsilon >0\exists \delta (\varepsilon )>0:\forall x',x''\in [a,b],|x'-x''|<\delta (\varepsilon )|\varphi _{n}(x')-\varphi _{n}(x'')|<\varepsilon ,\forall n\geq 1$

Лемма Асколи-Арцела. Теорема Пеано

Лемма Асколи-Арцела.  Из любой равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной последовательности функций $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность $\varphi _{n_{k}}\rightrightarrows \varphi (x),(\varphi \in C[a,b])$

Доказательство. Пусть $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ - равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. $\varepsilon _{1}={\frac {2C}{N}}$ - разделим прямоугольник на вертикальные полосы высоты $\varepsilon _{1}$ и длины $h_{1}<\delta (\varepsilon _{1})$

График каждой из функций $\varphi _{n}$ может находиться не более чем в двух смежных парах прямоугольников высоты $\varepsilon _{1}$. В каждой вертикальной полосе есть пара прямоугольников, в которых располагается бесконечное множество графиков, так как множество прямоугольников конечно, а подпоследовательностей бесконечно. Выберем подпоследовательность функций в этих прямоугольниках $\{\varphi _{1n}\}_{n=1}^{\infty }$

$|\{\varphi _{1n}\}_{n=1}^{\infty }(x)-\{\varphi _{1m}\}_{n=1}^{\infty }(x)|<2\varepsilon _{1},\forall n,m$, теперь будем уменьшать $\varepsilon$. возьмём $\varepsilon _{2}={\frac {\varepsilon _{1}}{2}},h_{2}<\delta (\varepsilon _{2})$ и выберем $\{\varphi _{2n}\}_{n=1}^{\infty }$

$|\{\varphi _{2n}\}_{n=1}^{\infty }(x)-\{\varphi _{2m}\}_{n=1}^{\infty }(x)|<2\varepsilon _{2},\forall n,m$

$\cdots$

$\varepsilon _{p}={\frac {\varepsilon _{1}}{2^{p-1}}},h_{p}<\delta (\varepsilon _{p})$, $|\{\varphi _{pn}\}_{n=1}^{\infty }(x)-\{\varphi _{pm}\}_{n=1}^{\infty }(x)|<2\varepsilon _{p},\forall n,m$

${\begin{matrix}\underbrace {\varphi _{11}} &\varphi _{12}&\dots &\varphi _{1n}\\\varphi _{21}&\underbrace {\varphi _{22}} &\dots &\varphi _{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{p1}&\varphi _{p2}&\dots &\underbrace {\varphi _{pn}} \\\end{matrix}}$

Диагональный процесс Кантора - берем элементы на главной диагонали $\{{\overline {\varphi _{n}}}\}=\{\varphi _{nn}\}$

$\forall \varepsilon >0$ выбираем номер p: $2\varepsilon _{p}<\varepsilon$, тогда $|{\overline {\varphi _{n}}}-{\overline {\varphi _{m}}}|<2\varepsilon _{p}<\varepsilon ,\forall n,m>p(\varepsilon )\forall x\in [a,b]\Rightarrow \{{\overline {\varphi _{n}}}\rightrightarrows \varphi (x)$

Теорема Пеано.  Пусть функция $f$ определена и непрерывна в области G и пусть точка $(x_{0},y_{0})\in G$

Тогда существует решение задачи Коши определенное на некотором отрезке $[x_{0}-\vartriangle ,x_{0}+\vartriangle ]$

Доказательство. ${\overline {S}}$-окрестность точки $(x_{0},y_{0})\in G$. $f\in C(G)\Rightarrow f\in C({\overline {S}})$.

Функция непрерывна на замкнутом множестве, след-но ограничена на нём: $\exists L=max_{(x,y)\in S}|f(x,y)|<\infty$. Зафиксируем некоторое N и рассмотрим разбиение отрезка: $x_{i}=x_{0}+i*h_{n},h_{n}={\frac {\vartriangle }{N}}$. Рисуем ломаную Эйлера через $(x_{0},y_{0})$, такую что угловой коэффициент равен $f(x_{i},y_{i})$ на $(x_{i},x_{i+1})$. Ломаная не может выйти за пределы $\vartriangle$, так как чтобы она вырвалась угол наклона должен быть больше L, а это невозможно. Получаем последовательность $\{\varphi _{N}(x)\}_{N=1}^{\infty }$.

На $[x_{j},x_{j+1}]\varphi _{N}(x)=\varphi _{N}(x_{j})+f(x_{j},\varphi _{N}(x_{j}))(x-x_{j})$

Последовательность ограничена: $y_{0}-\vartriangle L\leq \varphi _{N}(x)\leq y_{0}+\vartriangle L\forall x\in [x_{0},x_{0}+\vartriangle ]\forall N\geq 1$ (1) Заметим также, что последовательность равностепенно непрерывна: $\forall \varepsilon >0\exists \delta (\varepsilon )={\frac {\varepsilon }{L}}\forall x',x''\in [x_{0},x_{0}+\vartriangle ]|x'-x''|<\delta (\varepsilon )$ Значит по лемме Асколи-Арцела $\exists \varphi _{N_{k}}(x)\rightrightarrows \varphi (x)$ на $[x_{0},x_{0}+\vartriangle ]$, здесь $\varphi$ - решение задачи Коши.

Зафиксируем некоторую точку $x\in [x_{0},x_{0}+\vartriangle ]$.Если начать менять $N$, то возникает картина меняющихся подотрезков, но каждый раз $x$ будет принадлежать некоторому отрезку $[x_{i},x_{i+1}].i=i_{N_{k}}$

$h_{N_{k},j}={\begin{cases}h_{N}={\frac {\vartriangle }{N}},1\leq j\leq i\\x-x_{i},j=i+1\end{cases}}$

$\varphi _{N_{k}}=y_{0}+\sum \limits _{j=1}^{i+1}f(x_{j},\varphi _{N_{k}}(x_{j}))h_{N_{k},j}=$ (вместо $\varphi _{N_{k}}(x_{j})$ поставим предельную функцию $\varphi$) $=y_{0}+\sum \limits _{j=0}^{i}f(x_{j},\varphi (x_{j}))h_{N_{k},j}+\underbrace {\sum \limits _{j=0}^{i}[f(x_{j},\varphi _{N_{k}}(x_{j}))-f(x_{j},\varphi (x_{j}))]h_{N_{k},j}} _{Ost}$

Первое слагаемое в сумме при стремлении длины отрезка к нулю будет стремиться к интегралу: $y_{0}+\sum \limits _{j=1}^{i+1}f(x_{j},\varphi _{N_{k}}(x_{j}))h_{N_{k},j}=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(s,\varphi (s))ds$.

Покажем что $Ost\rightarrow 0$. Заметим, что f непрерывна на всём G $\Rightarrow$ непрерывна на треугольнике (1), а так как треугольник - ограниченное множество, f равномерно непрерывна на (1) $\Rightarrow$ $\forall \varepsilon >0\exists \delta (\varepsilon )>0:|f(x',y')-f(x'',y'')|<\varepsilon ,\forall (x',y')(x'',y''){\sqrt {(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}}}<\delta (\varepsilon )$ В частности, если $x'$ и $x''$ совпадают, $|y'-y''|<\delta (\varepsilon )$ разность $|\varphi _{N_{k}}(x_{j})-\varphi (x_{j})|<\delta (\varepsilon )$ как только $N_{k}>N_{0}(\varepsilon )\forall x_{j}$.

$|Ost|$ может быть оценен $|\sum \limits _{j=0}^{i}[f(x_{j},\varphi _{N_{k}}(x_{j}))-f(x_{j},\varphi (x_{j}))]h_{N_{k},j}|\leq \varepsilon \vartriangle$ при $N_{k}>N_{0}(\varepsilon )$. Это говорит о том, что $Ost\rightarrow 0{\text{ когда }}k\rightarrow \infty$

Теперь перейдем к передлу, когда $k\to \infty :\phi (x)=\phi _{0}+\int \limits _{x_{0}}^{x}f(s,\phi (s))ds$, это равненство справедливо для $\forall x\in [x_{0},x_{0}+\vartriangle ]$

Единственность решения задачи Коши

Определение. Функция f удовлетворяет локальному в области G условию Липшица по переменной y, если $\forall (x_{0},y_{0})\in G_{1}\exists$ окрестность $U(x_{0},y_{0})$ и постоянная $L=L(x_{0},y_{0})>0:|f(x,y')-f(x,y'')|\leq L|y'-y''|\forall (x,y')(x,y'')\in U(x_{0},y_{0})$

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Липшица, тогда решение задачи Коши единственное

Доказательство. От противного. Пусть существует два решения $\varphi _{1},\varphi _{2}$, определённые на $<a,b>\ni x_{0}$ и $\varphi _{1}\not \equiv \varphi _{2}$. В точке $x_{0}$ решения $\varphi _{1}(x_{0})=\varphi _{2}(x_{0})$ по условию задачи Коши, но $\exists x^{*}:\varphi _{1}(x^{*})\not =\varphi _{2}(x^{*})$. Пусть $\varphi _{1}(x^{*})>\varphi _{2}(x^{*})$.

Рассмотрим точку $\beta =sup\{$всех точек $x\in [x_{0},x^{*}]$, таких что $\varphi _{1}(x)=\varphi _{2}(x)\}$.

Множество точек непустое и ограниченное. $\varphi _{1}(\beta )=\varphi _{2}(\beta )$

Поскольку $\varphi$ непрерывны, супремум - максимум, значит $\varphi _{1}(\beta )=\varphi _{2}(\beta )=\gamma$ и $\varphi _{1}(x)>\varphi _{2}(x)\forall x\in (\beta ,x^{*}]${}

${\frac {d\varphi _{1}(x)}{dx}}\equiv f(x,\varphi _{1}(x))$ на $(\beta ,x^{*}]$ (1)

${\frac {d\varphi _{2}(x)}{dx}}\equiv f(x,\varphi _{2}(x))$ на $(\beta ,x^{*}]$ (2)

В силу условия теоремы $\beta$ удовлетворяет локальному условию Липшица $\Rightarrow \exists$ некоторая окрестность $V:f(x,\varphi _{1}(x))-f(x,\varphi _{2}(x))\leq L(\varphi _{1}(x)-\varphi _{2}(x))$ верно как только $x\in [\beta ,\beta +\vartriangle ]$

Вычтем (1) из (2): ${\frac {d(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{dx}}=f(x,\varphi _{1}(x))-f(x,\varphi _{2}(x))\Rightarrow {\frac {du}{dx}}\leq Lu(x)$ на $[\beta ,\beta +\delta ]$ Проинтегрируем неравенство на $[\beta ,\beta +\delta ]$: $u(\beta +\delta )-u(\beta )\leq \int _{\beta }^{\beta +\delta }Lu(x)dx\leq \delta L\max {[\beta ,\beta +\delta ]}u(x)$

Заменим отрезок на меньший $\beta +\delta \geq x:u(x)\leq \delta L\max {[\beta ,\beta +\delta ]}U(x)$ $\forall x\in [\beta ,\beta +\delta ]$

$\max {[\beta ,\beta +\delta ]}u(x)\leq \delta L\max {[\beta ,\beta +\delta ]}u(x)$. Выберем $\delta _{\max }$, чтобы $\delta L$ оказалось $<1$. Получаем что $\max {[\beta ,\beta +\delta ]}u(x)=0$, чего быть не может.

Определение. Функция $f$ удовлетворяет локальному в области G условию Осгуда по переменной $y$, если $\forall (x_{0},y_{0})\in G\exists {\text{окрестность}}{\overline {U}}={\overline {U}}(x_{0},y_{0})$ диаметра $d>0$ и функция $\psi (u)\in C(0,d],\psi (u)>0:\int _{0}^{d}{\frac {du}{\psi (u)}}=+\infty$ такие что $|f(x,y')-f(x,y'')|\leq \psi (|y'-y''|)\forall (x,y'),(x,y'')\in {\overline {U}}$

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Осгуда, тогда решение задачи Коши единственно.

Доказательство. Пусть у задачи Коши 2 решения: $\varphi _{1}(x)\not \equiv \varphi _{2}(x)$ Повторяя доказательство предыдущего утверждения, приходим к тому, что функциия $u(x)=\varphi _{1}(x)-\varphi _{2}(x)$ удовлетворяет на отрезке $[\beta ,\beta +\delta ]$ тождеству ${\frac {du}{dx}}\equiv f(x,\varphi _{1}(x)-f(x,\varphi _{2}(x)))\Rightarrow {\frac {du}{dx}}\leq \psi (u)$ на $[\beta ,\beta +\delta ]$.

Поделим обе части неравенства на $\psi (u)$: ${\frac {1}{\psi (u)}}{\frac {du}{dx}}\leq 1$ всюду на $(\beta ,\beta +\delta ]$

${\frac {d}{dx}}\int _{d}^{u}{\frac {dS}{\psi (S)}}\leq 1$ на $(\beta ,\beta +\delta ]$. Проинтегрируем на $[\beta +\varepsilon ,\beta +\delta ]$:

$\int _{d}^{u(\beta +\delta )}{\frac {dS}{\psi (S)}}-\int _{d}^{u(\beta +\varepsilon )}{\frac {dS}{\psi (S)}}\leq \delta -\varepsilon$. Устремим $\varepsilon \rightarrow 0$. $u(\beta +\varepsilon )\rightarrow 0$, второй интеграл $\rightarrow +\infty$ - противоречие.