Задача Штурма-Лиувилля

Пусть $L[u]=-\frac{d}{dx}[p\frac{du}{dx}]+qu$, где $p\in C^1[0,l],q\in C[0,1],0<p_0\le p(x)$ Пусть $p\in C[0,l],p>0$-заданная функция.

Задача Штурма-Лиувилля

$L[u]=\lambda pu{\alpha }_1{u}^{\prime }(0)+{\beta }_{1}u(0)=0(2){\alpha }_2{u}^{\prime }(l)+{\beta }_{2}u(l)=0$

Как и ранее, ${\alpha }_1^2+{\beta }_1^2>0,{\alpha }_2^2+{\beta }_2^2>0$. Если при некоторых значениях параметра $\lambda$ эта задача имеет нетривальное решение $u(x)$, то $\lambda$ называется собственной функцией, соответствующей собственному значению $\lambda$.

Свойства собственных функций

• Собственные числа задачи Штурма-Лиувилля образуют строго возрастающую последовательность ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_n<\dots$, причем ${\lambda }_n\to +\mathrm{\infty }$, при $n\to \mathrm{\infty }$.
• Каждому собственному значению ${\lambda }_n$ соответствует ровно одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция ${\phi }_n$

Доказательство. $L[u]=\lambda pu$ запишем в виде $\tilde{L}[u]=0$, где $\tilde{L}$ отличается заменой $q$ на $\tilde{q}=q-\lambda p$. Как следует из Леммы (про их линейную зависимость), всякие 2 функции, удовлетворяющие уравнению $\tilde{L}[u]=0$ и уравению (2) линейно зависимы

• Собственные функции $\{{\phi }_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ образуют на отрезке [0,l] ортогональную с весом p систему, то есть $({\phi }_n,{\phi }_m{)}_p=0$ при $n\ne m$

Доказательство. Используя формулу Грина, имеем:

${\int }_0^l(L[{\phi }_n]{\phi }_m-L[{\phi }_m]{\phi }_n)dx=0$.

Пользуясь тем, что $L[{\phi }_n]={\lambda }_{n}p{\phi }_n$, $L[{\phi }_m]={\lambda }_{m}p{\phi }_m$, имеем $({\lambda }_n-{\lambda }_m){\int }_0^l{\phi }_n{\phi }_{m}pdx=0$ при $n\ne m$ имеем $({\phi }_n,{\phi }_m{)}_p=0$.

Система $\{{\phi }_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ортонормирована, то есть удовлетворяет дополнительному условию $|{\phi }_n{|}_p=1$ для всех $n\ge 1$.

• Всякая функция $f\in C^1[0,l]$, такая, что $p\frac{df}{dx}\in C^1[0,l]$ и удовлетворяет краевым условиям (2) и (3), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на отрезке $[0,l]$ ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{\phi }_k(x),(1)$

где $c_k={\int }_0^{l}f(x){\phi }_k(x)p(x)dx$, если $|{\phi }_n{|}_p=1$.

Замечание к теореме Стеклова

Для всякой функции $f\in C[0,l]$ ряд (1) сходится в среднем:

$||f-\sum _{k=1}^N{C}_k{\phi }_k|{|}_p^2={\int }_0^l(f(x)-\sum _{k=1}^N{C}_k{\phi }_k(x){)}^{2}p(x)dx\to 0,N\to \mathrm{\infty }$

Теорема(справочно) Пусть $q(x)\ge 0$ Тогда однородная КЗ для $L[u]=0$ имеет лишь нулевое решение при каждом из следующих 4-х типов граничных условий:

1. $u(0)=0,u(l)=0$
2. $-p(0)u^{\prime }(0)+{\sigma }_{1}u(0)=0,u(l)=0$
3. $u(0)=0,p(l)u^{\prime }(l)+{\sigma }_{2}u(l)=0$
4. $-p(0)u^{\prime }(0)+{\sigma }_{1}u(0)=0,p(l)u^{\prime }(l)+{\sigma }_{2}u(l)=0$.

Если ${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2\le 0$, то ${\int }_0^{l}q(x)dx>0$, т.е. $q(x)\equiv ̸0$

${\sigma }_1\ge 0$, ${\sigma }_2\ge 0$

Свойство Пусть $q\ge 0$. Тогда в случае граничных условий из теоремы выше имеем ${\lambda }_n>0$ для всех $n\ge 1$

Доказательство. Умножаем равенство $L[{\phi }_n]={\lambda }_{n}p{\phi }_n$ на ${\phi }_n$ и проинтегрируем результат по $x$:

${\int }_0^{l}p(\phi {\text{'}}_n{)}^{2}dx+{\int }_0^{l}q{\phi }_n^{2}dx+p(0)\phi {\text{'}}_n(0){\phi }_n(0)-p(l)\phi {\text{'}}_n(l){\phi }_n(l)=$

$={\lambda }_n{\int }_0^{l}p{\phi }_n^{2}dx={\lambda }_n$

Отсюда: ${\lambda }_n\ge {\int }_0^{l}p(\phi {\text{'}}_n{)}^{2}dx+{\int }_0^{l}q{\phi }_n^{2}dx>0$