Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений

Однородные СЛАУ. Базисные и свободные неизвестные. Условие нетривиальной совместимости.

Однородная СЛАУ:

${\begin{matrix} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, r} x_{r} + a_{1, r + 1} x_{r + 1} + \dots + a_{1, n} x_{n} = 0 \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, r} x_{r} + a_{2, r + 1} x_{r + 1} + \dots + a_{2, n} x_{n} = 0 \\ \dots \\ a_{n, 1} x_{1} + a_{n, 2} x_{2} + \dots + a_{n, r} x_{r} + a_{n, r + 1} x_{r + 1} + \dots + a_{n, n} x_{n} = 0 \end{matrix}$

$x_{1}, x_{2} \dots x_{r}$ - базисные неизвестные. $x_{r + 1}, x_{r + 2} \dots x_{n}$ - свободные неизвестные (если $r_{A} < n$ )

Условие нетривиальной совместимости (наличия решений):

${\begin{matrix} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, r} x_{r} = - a_{1, r + 1} x_{r + 1} - \dots - a_{1, n} x_{n} \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, r} x_{r} = - a_{2, r + 1} x_{r + 1} - \dots + a_{2, n} x_{n} \\ \dots \\ a_{n, 1} x_{1} + a_{n, 2} x_{2} + \dots + a_{n, r} x_{r} = - a_{n, r + 1} x_{r + 1} - \dots + a_{n, n} x_{n} \end{matrix}$

$x_{1}, x_{2} \dots x_{r}$ - найдутся однозначно. $x_{r + 1}, x_{r + 2} \dots x_{n}$ - можно задать любыми. $r_{A} = n \Rightarrow$ только тривиальное решение.

Cвойства решений однородных СЛАУ.

Если Х - решение матричного уравнения $A X = Θ$ , то $\forall λ \in R^{1},$

$λ X = (\begin{matrix} λ x_{1} \\ \dots \\ λ x_{n} \end{matrix})$ снова будет решением.

$X_{1}$ и $X_{2}$ - решения, то $(X_{1} + X_{2})$ - тоже будет решением.
Если $X_{1} \dots X_{k}$ - решение системы, то для $\forall$ чисел $λ_{1} \dots λ_{k} \in R^{1}$ , $z = \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} X_{i}$ - будет решением системы.

Формула общего решения однородных СЛАУ

Определение. Cистема решений СЛАУ

X_{1} \dots X_{n - r}

называется фундаментальной системой решений

\Leftrightarrow

система

X_{1} \dots X_{n - r}

линейно независима.

Теорема. Пусть

r_{A} < n

;

X_{1} \dots X_{n - r}

- ФСР для СЛАУ, тогда

\sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} X_{j}

- является общим решением СЛАУ. т.е. :

$\forall (C_{1} \dots C_{n - r}) \in R^{1}$ сумма $\sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} X_{j}$ - является решением СЛАУ
$\forall X^{*}$ - решения системы $\exists!$ числа $C_{1}^{*}, C_{2}^{*}, \dots, C_{n - r}^{*}$ : $X^{*} = \sum_{j = 1}^{n - r} C_{j}^{*} X_{j}$

Доказательство. Cистему запишем в матричной форме;

$X = (\begin{matrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{n} \end{matrix}), Θ = (\begin{matrix} 0 \\ \dots \\ 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow A X = Θ, \Rightarrow$ поскольку $X_{j}$ является решением $\Rightarrow A X_{j} = Θ, (j = 1, 2 \dots, n - r) .$

Докажем выполнение условия $A (\sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} X_{j}) = \sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} (A X_{j}) = \sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} (Θ) = Θ .$ \\2) пусть $X^{*}$ произвольное решение системы. $X^{*} = (β_{1}, \dots, β_{r}, β_{r + 1}, \dots, β_{n})$ .

Cоставим матрицу:

(\begin{matrix} X_{1} & X_{r} & X_{r + 1} & X_{n} \\ X^{*} & β_{1} & \dots & β_{r} & β_{r + 1} & \dots & β_{n} \\ X_{1} & α_{1, 1} & \dots & α_{1, r} & α_{1, r + 1} & \dots & α_{1, n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ X_{n - r} & α_{n - r, 1} & \dots & α_{n - r, r} & α_{n - r, r + 1} & \dots & α_{n - r, n} \end{matrix}) = D;

$(n - r) ⩽ r_{D} ⩽ (n - r), \Rightarrow r_{D} = (n - r)$

покажем единственность.

${\tilde{C}}_{1} X_{1} + {\tilde{C}}_{2} X_{2} + \dots + {\tilde{C}}_{n - r} X_{n - r} = X^{*} = C_{1}^{*} X_{1} + C_{2}^{*} X_{2} + \dots + C_{n - r}^{*} X_{n - r}$

$({\tilde{C}}_{1} - C_{1}^{*}) X_{1} + ({\tilde{C}}_{2} - C_{2}^{*}) X_{2} + \dots + ({\tilde{C}}_{n - r} - C_{n - r}^{*}) X_{n - r} = Θ$

Формула общего решения неоднородных СЛАУ

Неоднородная СЛАУ:

{\begin{matrix} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, r} x_{r} + a_{1, r + 1} x_{r + 1} + \dots + a_{1, n} x_{n} = b_{1} \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, r} x_{r} + a_{2, r + 1} x_{r + 1} + \dots + a_{2, n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{n, 1} x_{1} + a_{n, 2} x_{2} + \dots + a_{n, r} x_{r} + a_{n, r + 1} x_{r + 1} + \dots + a_{n, n} x_{n} = b_{n} \end{matrix}

Теорема.

X_{O H} = X_{O O} + X_{4 H}

(общее решение однородной системы + частное решение неоднородной.)

Доказательство. 1) покажем что

\sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} X_{j} + X_{4 H}

является решением при любых

C_{1}, \dots, C_{n - r}

.

A (\sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} X_{j} + X_{4 H}) = \sum_{j = 1}^{n - r} C_{j} A X_{j} + A X_{4 H} = Θ + B

.

2) покажем что для любого решения системы $\exists! C_{1}^{*}, \dots, C_{n - r}^{*}$ такие что $\tilde{X} = \sum_{j = 1}^{n - r} C_{j}^{*} X_{j} + X_{4 H}$ . возьмём $Z = \tilde{X} - X_{4 H}, \Rightarrow Z$ удовлетворяет однородной системе и $\exists! C_{1}^{*}, \dots, C_{n - r}^{*} : Z = \sum_{j = 1}^{n - r} C_{j}^{*} X_{j} \Rightarrow \tilde{X} = \sum_{j = 1}^{n - r} C_{j}^{*} X_{j} + X_{4 H} .$