Если отображения и таковы, что определено на множестве значений , то можно построить новое отображение , значения которого .
Такое отображение называют композицией функции и отображения .
Свойства отображения функций.
1. .
Доказательство. = = .
2. ≠
Доказательство. Например, f : {a, b} → a, g : {a, b} → b. Очевидно,что , .
Определение. Отображение, отображающееся само на себя, т.е. f : X → X, называется тождественным отображением множества X и обозначается .
3. Лемма. (g - сюръективно ) (f - инъективно)
Доказательство.
Если и : X → X, то g - сюръективно ;
Если , то f - инъективно.
4. Утверждение. Отображения взаимно обратны и биективны ↔ .
Доказательство. В силу леммы f, g - биективны и y = f (x) ↔ x = g (y).