Конспект по математической статистике/Шагимарданов
Авторская работа Автор: Шагимарданов И.Г. Руководитель: Вакуленко Ю.А. Рецензия: Проверено, может находится в основном пространстве --S.J. 10:11, 18 марта 2011 (UTC) |
Математическая статистика
[править]Математическая статистика — часть прикладной математической дисциплины теория вероятности и математическая статистика, которая изучает случайные явления, используя одинаковые с теории вероятности методы и понятия. Исследования поведения объектов или явлений обычно осуществляется на основе изучения статических данных- наблюдений и измерений. Поэтому первой задачей математической статистики является определение способов сбора и группировке статистической информации. Вторая задача математической статистики состоит в разработке методов анализа статистических данных адекватных целям исследования. То есть задачей математической статистики состоит в разработке методов сбора, систематизации и обработки статистических данных для их удобного представления интерпретации и формулирования научных и практических выводов.
Характеристика областей применения аппарата теории вероятности и математической статистики
Теория вероятности | Математическая статистика |
---|---|
1. Модель, описывающая изучение явлений или объект, известна априори (до опыта). Есть сведения обо всей генеральной совокупности, описывающей исследуемое явление. 2. Используемый математический аппарат не зависит от предметной области. |
1. Модель, описывающая исследуемое явление, априори известна.
2. Для определение модели можно проводить пробные испытания (сформировать сборку из генеральной совокупности). |
Генеральная совокупность
[править]Генеральная совокупность — все мыслимые значения (измерения, наблюдения), описывающие поведение исследуемого объекта или явления.
Выборка из генеральной совокупности — ограниченный набор реально наблюдаемых выборочных из генеральной совокупности значений, описывающих исследуемый объект или явление. Количество этих значений называется объемом выборки.
Материальные объекты. Их вероятностная природа
[править]Все законы природы и общества могут быть разделены на несколько классов, среди которых важное место занимают детерминированные и статистические (стохастические).
Детерминированные законы
[править]Детерминированные законы — это те, ДЛЯ которых характерно наличие причиной обусловленности протекающих процессов. К этому классу относятся законы небесной механики, физические законы (электричество, механика и пр), то есть все те, которые не имеют вероятностной природы.
Статистические (стохастические) законы
[править]Статистические (стохастические) законы определяют будущее состояние системы (объекта) неоднозначно, с некоторой вероятностью. Например, такие явления макромира, как долговременные изменения температуры, или явления микромира — положение электрона в электронной оболочке (электронное облако") и др. Можно утверждать, что без случайности нет развития. Случайностью объясняются возникновение жизни на Земле, совершенствование биологических видов, исторические события, творческая деятельность, развитие социально-экономических систем [1]. Именно поэтому математическая статистика становится все более значимым инструментом статистического анализа и прогнозирования, состояния, поведения и развития различных систем, в том числе экономических процессов и явлений.
Этапы решения задачи описания данных вероятностными моделями
[править]Решение задачи описания эмпирических данных (содержащих информацию о поведении реальных объектов) вероятностными моделями можно представить в виде пяти укрупненных этапов. Содержание каждого этапа и применяемые на данном этапе методы отражены в табл. 2.
Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями
Название этапа | Содержание этапа | Применяемые методы |
---|---|---|
1. Предварительная обработка данных (выборки из генеральной совокупности) | Анализ объема выборки, засоренности выборки, независимости элементов выборки | Методы непараметрической статистики (удаление засорений, проверка статистических гипотез, формирование требований условиям проведения эксперимента) |
2. Оценивание характеристик случайных величин | Точечное и интервальное оценивание числовых и функциональных характеристик | Методы непараметрического оценивания (как правило, при объеме выборки п < 60), параметрическое или непараметрическое оценивание (при объеме выборки п 60) |
З. Описание эмпирических данных вероятностными моделями (задачи аппроксимации) | Выбор типа Модели, описывающей эмпирические данные | Методы упорядочения Моделей и выбора аппроксимирующего распределения (модели) |
4. Оценивание неизвестных параметров модели | Точечное и интервальное оценивание параметров | Методы интервального и точечного оценивания параметров модели (Моментов, максимального правдоподобия и пр.) |
5. Проверка гипотез о согласии модели и эмпирического распределения | Проверка адекватности выбранной модели и эмпирического распределения | Методы проверки гипотез о согласии (х2-Пирсона, Кодмогорова —Смирнова, о?-Мизеса и пр.) |
-
Рис. 1
Задачи математической статистики
[править]Обозначим количество всех подлежащих обследованию объектов .Допустим, что каждому объекту i соответствует значение . Согласно данному ранее определению, совокупность
возможных значений (теоретически домысливаемых) объектов называется генеральной совокупностью, а — объёмом генеральной совокупности. Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной. Пусть количество реально наблюдаемых объектов из N равно n.Тогда — выборка из генеральной совокупности, n-объём выборки.
Выборка из генеральной совокупности должна обладать следующими свойствами:
— каждый элемент выбран случайно ;
— все имеют одинаковую вероятность попасть в пробку;
— должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать задачу с требуемым качеством (выработка должна быть репрезентативной, представительной)
В дальнейшем будем иметь дело с выборкой, обладающей такими свойствами.
Принято считать, что при выборка большая, или репрезентативная, а при
— малая. Такое деление выборки на большую и малую условно. Разные товары используют разное пограничное , делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи.