Кривые второго порядка

	Базовый уровень статей Выделить только проверенную информацию
	Создать черновик

Эта статья — часть материалов: кафедры Геометрия и топология

Кривые второго порядка — кривые, которые задаются в некоторой аффинной системе координат на плоскости уравнением второй степени:

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + a_{22} y^{2} + 2 a_{1} x + 2 a_{2} y + a_{0} = 0

Эллипс, гипербола и парабола

Геометрическое определение

Эллипсом называют геометрическое место точек $X$ , для которых сумма расстояний до двух заданных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ (называемых фокусами) равна заданному числу, большему, чем расстояние между фокусами.

| F_{1} X | + | F_{2} X | = 2 a, | F_{1} F_{2} | = 2 c < 2 a

Гиперболой называют геометрическое место точек $X$ , для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ (также называемых фокусами) равна заданному числу, меньшему, чем расстояние между фокусами.

| | F_{1} X | - | F_{2} X | | = 2 a, | F_{1} F_{2} | = 2 c > 2 a

Параболой называют геометрическое место точек $X$ , равноудаленных от данной точки $F$ (называемой фокусом) и прямой $d$ (называемой директрисой).

| F X | = ϱ (X, d)

Здесь $ϱ (X, d)$ — функция, вычисляющая расстояние от точки до прямой.

Теорема. Сечение прямого кругового бесконечного в обе стороны конуса плоскостью, не проходящей через вершину, является или эллипсом, или гиперболой, или параболой. При этом, указанная плоскость может располагаться тремя способами:

пересекать одну половину конуса, в этом случае получается эллипс;
пересекать обе половины конуса, в этом случае получается гипербола;
быть параллельной образующей конуса, в этом случае получается парабола.

Доказательство. Для доказательства будем использовать шары Данделена — шары, вписанные в конус и касающиеся плоскости. Введем обозначения

$S$ — вершина конуса;
$π$ — секущая плоскость;
$c$ — сечение конуса с плоскостью;
$F_{1}, F_{2}$ — точки касания шаров с плоскостью;
$c_{1}, c_{2}$ — окружности касания шаров с конусом;
$X$ — произвольная точка на сечении $c$ ;
$X_{1}, X_{2}$ — точки пересечения прямой $S X$ с окружностями $c_{1}, c_{2}$ .

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Эллипс. Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому

| X F_{1} | = | X X_{1} |, | X F_{2} | = | X X_{2} |,

| X F_{1} | + | X F_{2} | = | X X_{1} | + | X X_{2} | = | X_{1} X_{2} | = c o n s t

Таким образом, сечение $c$ по определению является эллипсом.

Гипербола. Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому

| X F_{1} | = | X X_{1} |, | X F_{2} | = | X X_{2} |,

| | X F_{1} | - | X F_{2} | | = | | X X_{1} | - | X X_{2} | | = | X_{1} X_{2} | = c o n s t

Таким образом, сечение $c$ по определению является гиперболой.

Парабола. В этом случае шар Данделена один. Пусть $π_{1}$ — плоскость, содержащая окружность $c_{1}$ , прямая $d$ — пересечение плоскостей $π$ и $π_{1}$ , точка $Y$ — прямоугольная проекция точки $X$ на прямую $d$ , точка $Y_{1}$ — точка пересечения $S X$ с $c_{1}$ .

$S Y_{1}$ наклонена к плоскости $π_{1}$ под углом $\frac{π}{2} - α$ , где $α$ — угол между образующей конуса и его осью. С другой стороны, $X Y$ параллельна той образующей конуса, которая параллельна плоскость $π$ . Значит, она образует с плоскостью $π_{1}$ также угол $\frac{π}{2} - α$ . Значит, $| X Y_{1} | = | X Y |$ как наклонные к плоскости $π_{1}$ под одним углом.

Касательные, проведенные к шару из одной точки, равны, поэтому $| X F_{1} | = | X Y_{1} |$ .

| X F_{1} | = | X Y |

Таким образом, сечение $c$ по определению является параболой. $◻$

В соответствии с этой теоремой эллипс, гиперболу и параболу называют кониками.

Аналитические определения коник

Эллипс

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке.

Тогда геометрическое определение перепишется в виде

| 𝐫_{1} | + | 𝐫_{2} | = 2 a, | 𝐫_{1} | = \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}}, | 𝐫_{2} | = \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}

\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}

(x + c)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + (x - c)^{2} + y^{2} - 4 a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}

a^{2} - c x = a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}

a^{4} - 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2} = a^{2} x^{2} + a^{2} c^{2} - 2 a^{2} c x + a^{2} y^{2}

a^{4} - a^{2} c^{2} = (a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2}

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, where b^{2} = a^{2} - c^{2}

(1)

Таким образом, координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению (1).

Обратное утверждение. Пусть координаты точки $(x, y)$ удовлетворяют уравнению (1), то есть

y^{2} = b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}

Тогда расстояние от этой точки до первого фокуса

\begin{matrix} | 𝐫_{1} | & = \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + 2 c x + c^{2} + b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}} = \\ = \sqrt{\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} x^{2} + 2 c x + c^{2} + b^{2}} = \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}} x^{2} + 2 c x + a^{2}} = \\ = | \frac{c}{a} x + a | = a + \frac{c}{a} x \end{matrix}

Выражение под знаком модуля положительно, так как $| x | \leq a \Rightarrow | \frac{c}{a} x | \leq c < a$ .

Аналогично, $| 𝐫_{2} | = a - \frac{c}{a} x$ .

| 𝐫_{1} | + | 𝐫_{2} | = 2 a

таким образом, точки, удовлетворяющие уравнению (1), принадлежат эллипсу.

Уравнение (1) называют каноническим уравнением эллипса.

Гипербола

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке.

Тогда, аналогично эллипсу, упрощая геометрическое определение, получим

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, где b^{2} = c^{2} - a^{2}

(2)

Таким образом, координаты точек гиперболы удовлетворяют уравнению (2).

Для доказательства обратного утверждения проведем рассуждения, аналогичные случаю эллипса и получим

| 𝐫_{1} | = | a + \frac{c}{a} x |, | 𝐫_{2} | = | a - \frac{c}{a} x |

При $x > 0$

| 𝐫_{1} | = a + \frac{c}{a} x, | 𝐫_{2} | = - a + \frac{c}{a} x

При $x < 0$

| 𝐫_{1} | = - a + \frac{c}{a} x, | 𝐫_{2} | = a - \frac{c}{a} x

Таким образом, точки, удовлетворяющие уравнению (2), принадлежат гиперболе.

Парабола

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы $p$ .

Тогда геометрическое определение примет вид

\sqrt{(x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2}} = x + \frac{p}{2}

x^{2} - p x + \frac{p^{2}}{4} + y^{2} = x^{2} + p x + \frac{p^{2}}{4}

y^{2} = 2 p x

(3)

Таким образом, координаты точек параболы удовлетворяют уравнению (3).

Обратное рассуждение. Обозначим через $d$ прямую $y = - p / 2$ , а через $F$ — точку $(p / 2, 0)$ . Для произвольной точки $X (x, y)$ кривой $y^{2} = 2 p x$ имеем

ϱ (X, d) = \frac{p}{2} + x

ϱ (X, F) = \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + 2 p x} = | x + \frac{p}{2} | = x + \frac{p}{2}

Последнее равенство верно, так как $x = y^{2} / 2 p \geq 0$ .

Поскольку для точек, удовлетворяющих уравнению (3), расстояние до точки $F$ равно расстоянию до прямой $d$ , то это уравнение описывает параболу.

Уравнение (3) называют каноническим уравнением параболы.

Общая теория кривых второго порядка

Канонические уравнения

Кривые второго порядка задаются в некоторой аффинной системе координат уравнением

F (x, y) = a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + a_{22} y^{2} + 2 a_{1} x + 2 a_{2} y + a_{0} = 0

(4)

Это уравнение можно преобразовать к матричному виду

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + a_{22} y^{2} + 2 a_{1} x + 2 a_{2} y + a_{0} = [\begin{matrix} x y \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{11} a_{12} \\ a_{12} a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} a_{1} a_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + a_{0} = [\begin{matrix} x y 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{11} a_{12} a_{1} \\ a_{12} a_{22} a_{2} \\ a_{1} a_{2} a_{0} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]

Теорема. Для любой кривой существует прямоугольная система координат, в которой она имеет один из следующих видов (называемых каноническими уравнениями):

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , эллипс;
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$ , мнимый эллипс;
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ , пара пересекающихся мнимых прямых;
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , гипербола;
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ , пара пересекающихся прямых;
$y^{2} = 2 p x$ , парабола;
$y^{2} - a^{2} = 0, a > 0$ , пара параллельных прямых;
$y^{2} + a^{2} = 0, a > 0$ , пара параллельных мнимых прямых;
$y^{2} = 0$ , пара совпадающих прямых.

Доказательство. Для доказательства покажем как привести общее уравнение (4) кривой к каноническому виду.

Лемма. Подходящим поворотом осей координат можно добиться того, что $a'_{12} = 0$ . Штрих означает коэффициент уравнения в новой системе координат.

Доказательство (леммы). Если $a_{12} = 0$ , поворот не требуется. В противном случае, рассмотрим произвольный поворот

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos φ - \sin φ \\ \sin φ \cos φ \end{matrix}] [\begin{matrix} x^{'} y^{'} \end{matrix}]

Тогда

\begin{matrix} F^{'} (x^{'}, y^{'}) & = F (x (x^{'}, y^{'}), y (x^{'}, y^{'})) = \\ = a_{11} (\cos φ x^{'} - \sin φ y^{'})^{2} + 2 a_{12} (\cos φ x^{'} - \sin φ y^{'}) (\sin φ x^{'} + \cos φ y^{'}) + a_{22} (\sin φ x^{'} + \cos φ y^{'})^{2} + 2 a_{1} (\cos φ x^{'} - \sin φ y^{'}) + 2 a_{2} (\sin φ x^{'} + \cos φ y^{'}) + a_{0} \end{matrix}

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых можно найти коэффициент при $2 x^{'} y^{'}$ , то есть $a'_{12}$ :

a'_{12} = - a_{11} \cos φ \sin φ + a_{12} (\cos^{2} φ - \sin^{2} φ) + a_{22} \cos φ \sin φ = (a_{22} - a 11 \frac{\sin 2 φ}{2} + a_{12} \cos 2 φ

a'_{12} = 0 \Rightarrow c t g 2 φ = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}

Поскольку $a_{12} \neq 0$ , то задача разрешима. В повернутой системе координат уравнение кривой примет вид

F^{'} (x^{'}, y^{'}) = λ_{1} x'^{2} + λ_{2} y'^{2} + 2 b_{1} x^{'} + 2 b_{2} y^{'} + b_{0} = 0^{◻}

(∗)

Лемма. Многочлен вида (∗) параллельным переносом приводится к одному из следующих видов:

$F^{″} = λ_{1} (x^{″})^{2} + λ_{2} (y^{″})^{2} + τ (λ_{1}, λ_{2} \neq 0)$
$F^{″} = λ_{2} (y^{″})^{2} + 2 b_{1} x^{″} (λ_{2}, b_{1} \neq 0)$
$F^{″} = λ_{2} (y^{″})^{2} + τ (λ_{2} \neq 0)$

Доказательство (леммы). 1 $λ_{1}, λ_{2} \neq 0$ . Выделяем полные квадраты:

\begin{matrix} F^{'} & = λ_{1} x'^{2} + λ_{2} y'^{2} + 2 b_{1} x^{'} + 2 b_{2} y^{'} + b_{0} = \\ = λ_{1} {(x^{'} + \frac{b_{1}}{λ_{1}})}^{2} + λ_{2} {(y^{'} + \frac{b_{2}}{λ_{2}})}^{2} + (b_{0} - \frac{b_{1}^{2}}{λ_{1}} - \frac{b_{2}^{2}}{λ_{2}}) = & = λ_{1} (x^{″})^{2} + λ_{2} (y^{″})^{2} + τ \end{matrix}

где $x^{″} = x^{'} + \frac{b_{1}}{λ_{1}}, y^{″} = y^{'} + \frac{b_{2}}{λ_{2}}$ — формулы замены координат, обратной к искомой.

2 $λ_{1} = 0, λ_{2} \neq 0$ (если $λ_{2} = 0, λ_{1} \neq 0$ , то поменяем координаты местами). Возможны два случая.

а) $b_{1} \neq 0$

\begin{matrix} F^{'} & = λ_{2} y'^{2} + 2 b_{1} x^{'} + 2 b_{2} y^{'} + b_{0} = \\ = λ_{2} {(y^{'} + \frac{b_{2}}{λ_{2}})}^{2} + 2 b_{1} x^{'} + (b_{0} - \frac{b_{2}^{2}}{λ_{2}}) = & = λ_{2} (y^{″})^{2} + 2 b_{1} x^{″} \end{matrix}

где $x^{″} = x^{'} + \frac{1}{2 b_{1}} (b_{0} - \frac{b_{2}^{2}}{λ_{2}}), y^{″} = y^{'} + \frac{b_{2}}{λ_{2}}$ — формулы замены координат, обратной к искомой.

б) $b_{1} = 0$

\begin{matrix} F^{'} & = λ_{2} y'^{2} + 2 b_{2} y^{'} + b_{0} = \\ = λ_{2} {(y^{'} + \frac{b_{2}}{λ_{2}})}^{2} + (b_{0} - \frac{b_{2}^{2}}{λ_{2}}) = & = λ_{2} (y^{″})^{2} + τ \end{matrix}

где $x^{″} = x^{'}, y^{″} = y^{'} + \frac{b_{2}}{λ_{2}}$ — формулы замены координат, обратной к искомой. Лемма доказана. $^{◻}$

Вернемся к доказательству теоремы. В соответствии с последней леммой любое уравнение второго порядка можно свести к одному из трех указанных в ней случаях. Рассмотрим каждый из них

F″=λ1(x″)2+λ2(y″)2+τ(λ1,λ2≠0)
1. $λ_{1}$ и $λ_{2}$ одного знака, $τ$ — противоположного. Делением на $λ_{1} λ_{2} τ$ получаем уравнение эллипса.
2. $λ_{1}$ , $λ_{2}$ и $τ$ одного знака. Делением на $λ_{1} λ_{2} τ$ получаем уравнение мнимого эллипса.
3. $λ_{1}$ и $λ_{2}$ одного знака, $τ = 0$ . Делением на $λ_{1} λ_{2}$ получаем уравнение пары пересекающихся мнимых прямых.
4. $λ_{1}$ и $λ_{2}$ разных знаков, $τ \neq 0$ . Делением на $| λ_{1} λ_{2} τ |$ получаем уравнение гиперболы.
5. $λ_{1}$ и $λ_{2}$ разных знаков, $τ = 0$ . Делением на $λ_{1} λ_{2}$ получаем уравнение пары пересекающихся прямых.
F″=λ2(y″)2+2b1x″(λ2,b1≠0)
1. Делением на $λ_{2}$ получаем уравнение параболы.
F″=λ2(y″)2+τ(λ2≠0)
1. $τ < 0$ . Уравнение пары параллельных прямых.
2. $τ > 0$ . Уравнение пары параллельных мнимых прямых.
3. $τ = 0$ . Уравнение пары совпадающих прямых.

Таким образом, теорема доказана. $◻$

Инварианты многочлена второй степени

Ортогональным инвариантом называется функция от коэффициентов многочлена $F$ , которая не меняется при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой.

Ортогональными инвариантами являются следующие три функции:

$S = a_{11} + a_{22}$
$δ = a_{11} a_{22} - a_{12}^{2}$
$Δ = | [\begin{matrix} a_{11} a_{12} a_{1} \\ a_{12} a_{22} a_{2} \\ a_{1} a_{2} a_{0} \end{matrix}] |$

Характеристическим многочленом называется многочлен $χ = | [\begin{matrix} a_{11} - λ a_{12} \\ a_{12} a_{22} - λ \end{matrix}] |$ . Можно показать, что $χ = λ^{2} - S λ + δ$ .

При доказательстве теоремы о приведении к каноническому виду было показано, что любое уравнение второго порядка можно привести к одному из трех видов. Поскольку при этом применялись только ортогональные преобразования, то инварианты сохранились. Составим таблицу значений инвариантов для разных видов:

Случай	$S$	$δ$	$Δ$
1	$λ_{1} + λ_{2}$	$λ_{1} λ_{2}$	$λ_{1} λ_{2} τ$
2	$λ_{2}$	$0$	$- λ_{2} b_{1}^{2}$
3	$λ_{2}$	$0$	$0$

Очевидно, тип уравнения второго порядка определяется значением инвариантов:

$δ \neq 0$
$δ = 0, Δ \neq 0$
$δ = 0, Δ = 0, S \neq 0$

Рассмотрим как определить значения коэффициентов $λ_{1}, λ_{2}, b_{1}, τ$ в разных случаях.

1) По теореме Виета коэффициенты $λ_{1}$ и $λ_{2}$ удовлетворяют уравнению $λ^{2} - S λ + δ = 0$ , которое совпадает с характерестическим уравнением. Таким образом, коэффициенты $λ_{1}$ и $λ_{2}$ находятся как корни уравнения $χ = 0$ , а $τ = Δ / δ$ .

2) Очевидно, $λ_{2} = S, b_{1} = \pm \sqrt{- Δ / S}$ , при этом знак для $b_{1}$ выбирают так, чтобы $b_{1} λ < 0$ .

3) Очевидно, $λ_{2} = S$ , но вычислить $τ$ через инварианты невозможно. В этом случае используют так называемый «семивариант», определяемый формулой $K = | [\begin{matrix} a_{11} a_{1} \\ a_{1} a_{0} \end{matrix}] | + | [\begin{matrix} a_{22} a_{2} \\ a_{2} a_{0} \end{matrix}] |$ .

Можно показать, что $K$ является инвариантом при $δ = Δ = 0$ и $τ = K / S$

Рассмотрим какие значения принимают инварианты в зависимости от одного из девяти типов кривых.

Эллипс. $δ > 0, S Δ < 0$ .
Мнимый эллипс. $δ > 0, S Δ > 0$ .
Пара пересекающихся мнимых прямых. $δ > 0, Δ = 0$ .
Гипербола. $δ < 0, Δ \neq 0$ .
Пара пересекающихся прямых. $δ < 0, Δ = 0$ .
Парабола. $δ = 0, Δ \neq 0$ .
Пара параллельных прямых. $δ = Δ = 0, K < 0$ .
Пара параллельных мнимых прямых. $δ = Δ = 0, K > 0$ .
Пара совпадающих прямых. $δ = Δ = 0, K = 0$ .