Линейные операторы и функционалы

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Линейные операторы[править]

Пусть и - линейные вещественные (комплексные) пространства.

Определение. Отображение называется линейным оператором, если:


Определение. Образом оператора называется множество - область определения оператора


Определение. Ядром оператора называется множество


Определение. Линейный оператор называется линейным преобразованием пространства .


Операции над линейными операторами[править]

Пусть линейный оператор

множество линейных операторов действующих из в является линейным пространством.

Пусть

;

Линейные операторы в нормированных пространствах[править]

Пусть и - нормированные пространства.

Определение. Оператор называется непрерывным в точке , если для справедливо:


Свойства:

  • Если - линейный оператор и - непрерывен в точке , то - непрерывен в
Доказательство. , возьмем некоторую


  • Оператор - непрерывен (то есть непрерывен во всех точках ) непрерывен в нуле.
Определение. Оператор называется ограниченным, если


Теорема. Ограниченность оператора эквивалентна каждому из этих свойств:
  1. Оператор переводит всякое ограниченное множество в ограниченное множество
  2. Оператор переводит единичную сферу в ограниченную сферу.
Доказательство. Покажем:

 : , - ограниченно:

- ограничено

- очевидно, так как - ограниченное множество

 : Дано


Определение. Нормой линеного оператора называется:


Теорема. Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Доказательство.
  1. Пусть - ограничен. Пусть , рассмотрим . Покажем - непрерывен
  2. Пусть - непрерывен. Предположим, что он не является ограниченным.

.

Имеем - противоречие, так как - ограничен.