Линейные операторы и функционалы
Внешний вид
Линейные операторы
[править]Пусть и - линейные вещественные (комплексные) пространства.
Определение. Отображение называется линейным оператором, если:
Определение. Образом оператора называется множество - область определения оператора
Определение. Ядром оператора называется множество
Определение. Линейный оператор называется линейным преобразованием пространства .
Операции над линейными операторами
[править]Пусть линейный оператор
множество линейных операторов действующих из в является линейным пространством.
Пусть
;
Линейные операторы в нормированных пространствах
[править]Пусть и - нормированные пространства.
Определение. Оператор называется непрерывным в точке , если для справедливо:
Свойства:
- Если - линейный оператор и - непрерывен в точке , то - непрерывен в
- Доказательство. , возьмем некоторую
- Оператор - непрерывен (то есть непрерывен во всех точках ) непрерывен в нуле.
Определение. Оператор называется ограниченным, если
Теорема. Ограниченность оператора эквивалентна каждому из этих свойств:
- Оператор переводит всякое ограниченное множество в ограниченное множество
- Оператор переводит единичную сферу в ограниченную сферу.
Доказательство. Покажем:
: , - ограниченно:
- ограничено
- очевидно, так как - ограниченное множество
: Дано
Определение. Нормой линеного оператора называется:
Теорема. Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Доказательство.
- Пусть - ограничен. Пусть , рассмотрим . Покажем - непрерывен
- Пусть - непрерывен. Предположим, что он не является ограниченным.
.
Имеем - противоречие, так как - ограничен.