Перейти к содержанию

Линейные пространства. Базис

Материал из Викиверситета

Линейные пространства

[править]

Пространство L - множество элементов - векторов, которые обозначаются , в котором определены две операции: сложение и умножение на число. эти операции подчиняются аксиомам:

Базис

[править]
Определение. система - базис в L система линейно независима и


Определение. Размерностью пространства называется число 1) в L линейно независимая система из n векторов.

2) система векторов в количестве большем чем n линейно зависима.


Теорема. в L базис из n векторов.
Доказательство.  : по определению линейно независимая система из n векторов . Докажем, что это базис. Линейная независимость дана. докажем, что . рассмотрим систему (). она линейно зависима (по определению размерности) т.е. не все равные 0 и такие что: заметим, что

: базис из n векторов: докажем, что . т.к. - базис, то система линейно независима. докажем, что любая система из n+1 векторов линейно зависима:

размера x. строки линейно зависимы : умножив на систему из и просуммировав получим: система линейно зависима.


Следствие.
  1. Все базисы в линейном пространстве L () имеют n векторов.
  2. Любая линейно независимая система из n векторов образует базис.


Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

[править]

Линейное пространство L, dim(L) = n > 0, - базис в L. возьмём новый базис в L :

- матрица перехода от базиса к базису