Пространство L - множество элементов - векторов, которые обозначаются , в котором определены две операции: сложение и умножение на число. эти операции подчиняются аксиомам:
Определение. система - базис в L система линейно независима и
Теорема. в L базис из n векторов.
Доказательство. : по определению линейно независимая система из n векторов . Докажем, что это базис. Линейная независимость дана. докажем, что . рассмотрим систему (). она линейно зависима (по определению размерности) т.е. не все равные 0 и такие что: заметим, что
: базис из n векторов: докажем, что . т.к. - базис, то система линейно независима. докажем, что любая система из n+1 векторов линейно зависима:
размера x. строки линейно зависимы : умножив на систему из и просуммировав получим: система линейно зависима.
Следствие.
- Все базисы в линейном пространстве L () имеют n векторов.
- Любая линейно независимая система из n векторов образует базис.
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
[править]
Линейное пространство L, dim(L) = n > 0, - базис в L. возьмём новый базис в L :
- матрица перехода от базиса к базису