Метод конечных разностей

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Постановка краевой задачи.[править]

Постановка краевой задачи

Тонкий однородный стержень, на концах электроды, начальная температура .

- одномерное уравнение теплопроводности

- характеризует температуру стержня в момент в точке

- коэффициент теплопроводности (зависит от ... - из физического смысла материала)

- коэффициент теплоотдачи

- плотность внешних источников

Стационарное одномерное уравнение теплопроводности:

.

Граничные условия: - I рода.

Дискретизация

, шаг фиксирован

Пусть

- в рассматриваемых точках

- разностная схема

Используемый метод - метод конечных разностей.

Аппроксимация и сходимость разностной схемы[править]

- требование разрешимости задачи

Теорема.

(если это не выполняется, то сходимость будет хуже)

Замечание. Если рассматривается задача в полном варианте, то


. - точное и приближенное решение задачи.

Разностная схема:

Задача с трехдиагональной разряженной матрицей:

- система с диагональным преобладанием

Теорема. Если в системе выполнены следующие условия диагонального преобладани, то прогонка может быть доведена до конца.

1)

- общий вид метода прогонки

для системы :

все условия выполнены

Теорема. Решение разностной схемы
Доказательство. Вытекает из ограничения на коэффициент и теоремы о применяемости метода прогонки.


По аналогии с дифференциальным оператором введем разностный оператор:

Теорема.
Доказательство. (от противного)

(-последняя точка, где это выполняется) и (условие того, что -последняя) , где , , ;

- по предположению, то есть - противоречие


Следствие. - пусть справедливо для двух задач и пусть и внутри


Теорема. Верна оценка:

Доказательство. Разобъем начальную задачу на две:

и

. Покажем, что Проверим, что действительно мажорирует . В граничных условиях это выполняется по построению

так как по условию -мажоранда

для мажорандой является

- парабола, её максимум

Найденные мажоранды оценивают наше решение и отсюда верна оценка :


Для сходимости численного метода требуется аппроксимация и устойчивость. Устойчивость будет вытекать из оценки

Доказательство.

Записывая оценку для этой задачи


Теорема. Пусть . Тогда , , где - аппроксимация
Доказательство.

,


Теорема. Пусть .

Тогда

Доказательство. Подставим в сеточный оператор точное решение. Очевидно ; ;