Метрические и топологические пространства

Метрические пространства

Множество $M\neq \varnothing$ называется метрическим пространством, если на множестве $M\times M$ введена функция: $\rho :M\times M\to \mathbb {R}$, удовлетворяющая аксиомам:

1. $\rho (x,y)\geq 0,\quad (\rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y)$
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x)\quad \forall x,y\in M$
3. $\rho (x,y)\leq \rho (x,z)+\rho (z,y)\forall x,y,z\in M,\quad \rho$ - метрика

$\rho (x,y)$ - расстояние между $x$ и $y$

Пусть есть последовательность $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset M,x\in M$

$x_{n}\to x$ при $n\to \infty \Leftrightarrow \rho (x_{n},x)\to 0$ при $n\to \infty$

Определение. Последовательность $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$- фундаментальная:

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon ):\rho (x_{n},x_{m})<\varepsilon \forall n,m>N(\varepsilon )$

Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится(к элементу этого пространства).

В полных пространствах понятие фундаментальности и сходимости эквивалентно.

Принцип сжимающих отображений

Пусть есть отображение $A$, метрического пространства $M$ в себя $A:M\to M$ Точка $x$ называется неподвижной точкой отображения $A$, если $Ax=x$.

Определение. Отображение $A$ называется сжимающим если $\exists q,0\leq q<1:\rho (Ax,Ay)\leq q\cdot \rho (x,y),\quad \forall x,y\in M$

Теорема Банаха.  (Принцип сжимающих отображений)

Всякое сжимающее отображение, действующее в полном метрическом пространстве имеет и при том одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть $\exists$ отображение $A:M\to M$. $M$ - полное пространство, отображение $A$ - сжимающее. Возьмем некоторый $x_{0}\in M$ и построим последовательность $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }:x_{n+1}=Ax_{n},\forall n\geq 0$

Покажем что последовательность фундаментальна: рассмотрим $\rho (x_{m},x_{n})\leq \rho (x_{m},x_{m-1})+\rho (x_{m-1},x_{m-2})+...+\rho (x_{n+1},x_{n})$

$\rho (x_{n+1},x_{n})\leq q\rho (x_{n},x_{n-1})\leq ...\leq q^{n}\rho (x_{1},x_{0})\Rightarrow \rho (x_{m},x_{n})\leq (q^{m-1}+q^{m-2}+...+q^{n})\rho (x_{1},x_{0})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}\rho (x_{1},x_{0})<\varepsilon ,\quad \forall m>n>N(\varepsilon )\Rightarrow$ последовательность фундаментальная $\Rightarrow$ $x_{n}$ сходится к некоторому $x\in M$

Перейдем к пределу в $x_{n+1}=Ax_{n}$ при $n\to \infty$ имеем: $x=Ax\Rightarrow x$ является неподвижной точкой отображения $A$.

Покажем единственность: Пусть $\exists x_{1},x_{2}$ - две неподвижные точки $x_{1}=Ax_{1},x_{2}=Ax_{2};\rho (x_{1},x_{2})=\rho (Ax_{1},Ax_{2})\leq q\rho (x_{1},x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$

Примеры применения принципа сжимающих отображений

1. Решение нелинейных уравнений:$x=\phi (x),|\phi (x_{1})-\phi (x_{2})|\leq q|x_{1}-x_{2}|$, $\quad 0\leq q<1\Rightarrow |\phi '(x)|\leq q<1,\quad \forall x$
2. Система линейных алгебраических уравнений:$x=Bx+x$; $x\in \mathbb {R} ^{m}$, $B(x\times m)$, $c\in \mathbb {R} ^{m}$. В роли метрического пространства выступает $M=\mathbb {R} ^{m}$. Введем метрику: $\rho (x,y)=\|x-y\|$. Чтобы применить ПСО надо привести к виду $x=\phi (x)$. В данном случае $\phi (x)=Bx+c$; $\rho (\phi (x),\phi (y))=\|Bx-By\|=\|B(x-y)\|\leq \|B\|\cdot \|x-y\|$. Чтобы был применим принцип ПСО потребуем $q=\|B\|<1$, тогда $\exists !$ решение СЛАУ
3. Линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

$U(x)=\int _{a}^{b}k(x,s)U(s)ds+f(x),\quad x\in \left[a,b\right]$, некоторой величиной является $U(x)$. Заданы $k(x,s)$ - ядро, $f(x)$ - правая часть.

В качестве метрического пространства возьмем $M=C[a,b]$.

Предполагаем: $U\in M,\quad k\in C(\left[a,b\right]^{2}),\quad f\in M$

$S(U,V)=\max {[a,b]}|U(x)-V(x)|$ - метрика пространства $M$.

Имеем: $U=\phi (U),\quad \phi =\int _{a}^{b}k(x,s)U(s)ds$

Рассмотрим: $\rho (\phi (U),\phi (V))=\max {x\in [a,b]}|\int _{a}^{b}k(x,s)(U(s)-V(s))ds|\leq \underbrace {\max {x\in [a,b]}\int _{a}^{b}|k(x,s)ds|} _{q}\max {x\in [a,b]}(U(x)-V(x))$

Если $0<q<1\Rightarrow \exists !$ решение $U$ интегрального уравнения.

Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Скалярным произведением в вещественном (унитарном) линейном пространстве $E$ называется вещественнозначная (комплекснозанчная) функция $(x,y)$, определенная на $E\times E$ и обладающая свойствами:

1. $(x,y)=(y,x)\quad x,y\in E\quad ((x,y)={\overline {(y,x)}}\forall x,y\in E)$
2. $(x_{1}+x_{2},y)=(x_{1},y)+(x_{2},y)\quad \forall x_{1},x_{2},y\in E$
3. $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)\forall x,y\in E\quad \forall \lambda \in \mathbb {R} \quad (\forall \lambda \in \mathbb {C} )$
4. $(x,x)\geq 0\forall x\in E,(x,x)=0\Leftrightarrow x=0$

Вещественное (комплексное) линейное пространство $E$ с введенными в нем скалярным произведением называется евклидовым (унитарным) пространством. Всякое евклидовое (унитарное) пространство $E$ является нормированным с нормой: $\|x\|=(x,x)^{\frac {1}{2}}$

Полное бесконечно мерное евклидово (унитарное) пространство $H$ Называется гилбертовым пространством.

$\{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ - ортонормированная система в $H$

$(e_{n},e_{k})=0,n\neq k,\|e_{n}\|=1\quad \forall n$

$f\in H\to \underbrace {\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}e_{n}} _{\text{Fourier series}},\quad \underbrace {c_{n}=(f,e_{n})} _{\text{Fourier koef.}}$; Обозначим: $S_{n}(f)=\sum _{n=1}^{N}(f,e_{n})e_{n}$ - частичная сумма ряда Фурье. $L_{N}=Span\{e_{1},...,e_{N}\}$ - замкнутое подпространство в $H$.

По свойствам ортогоального дополнения $f=g+h,g\in L_{N},h\in L_{N}^{\bot }$ Заметим, что $g=\sum _{n=1}^{N}c_{n}e_{n},c_{n}=(f,e_{n})$

Так как: $(f,e_{n})=(g,e_{n})+\underbrace {(h,e_{n})} _{0},\quad 1\leq n\leq N\Rightarrow (f,e_{n})=(g,e_{n})=(\sum _{n-1}^{N}c_{n}e_{n},e_{n})\Rightarrow c_{n}=(f,e_{n})$

$\|f-S_{N}(f)\|\leq \|f-y\|,\quad y\in L_{N}$

Рассмотрим $\|S_{N}(f)\|:\|S_{N}(f)\|^{2}=\|\sum _{n=1}^{N}c_{n}e_{n}\|^{2}=\sum _{n=1}^{N}|c_{n}|^{2}$

Таким образом имеем:

$f=S_{N}(f)+(f-S_{N}(f));\quad \|f\|^{2}=\|S_{N}(f)\|^{2}+\|f-S_{N}(f)\|^{2}$ (так как $(S_{N}(f),f-S_{N}(f))=0$, потому что $S_{N}(f)=g\in L_{N}$, а $(f-S_{N}(f))=h\in L_{N}^{\bot }$)

Утверждение. Справедливо неравенство Бесселя: $\sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \|f\|^{2}$

Доказательство. $\sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}+\|f-S_{N}(f)\|^{2}=\|f\|^{2}\Rightarrow \sum _{n=1}^{N}|c_{n}|^{2}\leq \|f\|^{2}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \|f\|^{2}$

Следствие. $C_{n}\rightarrow [n\rightarrow \infty ]{}0$, так как это необходимое условие сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}$

Утверждение. Равенство Парсеваля: $\sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\|f\|^{2}$ справедливо $\Leftrightarrow$ $\|f-S_{N}(f)\|\rightarrow [N\to \infty ]{}0$, то есть тогда когда $f=\sum _{n=1}^{\infty }(f,e_{n})e_{n}$

Теорема. Ортонормированная система $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ полна $\Leftrightarrow$ для всякого $f\in H$, $f=\sum _{k=1}^{\infty }(f,e_{k})e_{k}$ ($f$ представляется рядом Фурье)

Доказательство. Система $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ полна: для $\forall \varepsilon >0\exists \sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}e_{k}:\|\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}e_{k}-f\|\leq \varepsilon \quad \forall f\in H$, то есть ${\overline {Span(\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty })}}=H$

1. $(\Leftarrow )$ Если для $\forall f\in H:f=\sum _{k=1}^{\infty }(f,e_{k})e_{k}\Rightarrow$ последовательность частичных сумм $S_{N}(f)=\sum _{k=1}^{N}(f,e_{k})e_{k}\to f\Rightarrow$ система полна.
2. $(\Rightarrow )$ Пусть система $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ - полна.\\ Тогда для $\forall A\in H,\forall \varepsilon >0\exists \sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}e_{k}:\|\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}e_{k}-f\|<\varepsilon$

$\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}e_{k}\in L_{N}=Span\{e_{1},...,e_{n}\}$ - замкнутое подпрстранство $H$

$\|S_{N}(f)-f\|\leq \|\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}e_{k}-f\|<\varepsilon$

Рассмотрим $S_{n}(f),n>N:\|S_{n}(f)-f\|\leq \|S_{N}(f)-f\|<\varepsilon ,\forall n>N\Rightarrow S_{n}(f)\rightarrow [n\rightarrow \infty ]{}f\Rightarrow f=\sum _{k=1}^{\infty }(f,e_{k})e_{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}$

Лемма. Если $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ - ортонормированная система в $H$ и $f=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}$, то $c_{k}=(f,e_{k})$

Доказательство. Частичная сумма $S_{N}=\sum _{k=1}^{N}c_{k}e_{k}\to f$

$(S_{N},e_{k})=c_{k},\forall N\geq k$; $\lim _{N\rightarrow \infty }(S_{N},e_{k})=(f,e_{k})\Rightarrow c_{k}(f,e_{k})$

Теорема Рисса-Фишера.  Пусть $(e_{k})_{k=1}^{\infty }$ - ортонормированная система в пространстве $H$, $c=\{c_{k}\}_{k=1}^{\infty }\in l_{2}$ (где $l_{2}$ - пространство последовательностей, таких что $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}$)

Тогда $\exists g\in H:g=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}$ и $\|g\|_{H}=\|c\|_{l_{2}}$

Доказательство. Существование $g$ эквивалентно фундаментальности последовательности частичных сумм: $\{S_{N}\},S_{N}=\sum _{k=1}^{N}c_{k}e_{k}$. Пусть $M>N$ тогда

$\|S_{M}-S_{N}\|^{2}=\sum _{k=N+1}^{M}|c_{k}|^{2}<\varepsilon \quad \forall M,N>N_{0}(\varepsilon )$ так как ряд $\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}$ сходится $\Rightarrow$ последовательность частичных сумм фундаментальна, сходится к некоторому элементу, назовем его $g$. $\quad \|g\|=\|c\|_{l_{2}}$ - равенство Парсеваля.