Метрические и топологические пространства

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метрические пространства[править]

Множество называется метрическим пространством, если на множестве введена функция: , удовлетворяющая аксиомам:

  1. - метрика

- расстояние между и

Пусть есть последовательность

при при

Определение. Последовательность - фундаментальная:


Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится(к элементу этого пространства).


В полных пространствах понятие фундаментальности и сходимости эквивалентно.

Принцип сжимающих отображений[править]

Пусть есть отображение , метрического пространства в себя Точка называется неподвижной точкой отображения , если .

Определение. Отображение называется сжимающим если


Теорема Банаха.  (Принцип сжимающих отображений)

Всякое сжимающее отображение, действующее в полном метрическом пространстве имеет и при том одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть отображение . - полное пространство, отображение - сжимающее. Возьмем некоторый и построим последовательность

Покажем что последовательность фундаментальна: рассмотрим

последовательность фундаментальная сходится к некоторому

Перейдем к пределу в при имеем: является неподвижной точкой отображения .

Покажем единственность: Пусть - две неподвижные точки


Примеры применения принципа сжимающих отображений[править]

  1. Решение нелинейных уравнений:,
  2. Система линейных алгебраических уравнений:; , , . В роли метрического пространства выступает . Введем метрику: . Чтобы применить ПСО надо привести к виду . В данном случае ; . Чтобы был применим принцип ПСО потребуем , тогда решение СЛАУ
  3. Линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:
, некоторой величиной является . Заданы - ядро, - правая часть.

В качестве метрического пространства возьмем .

Предполагаем:

- метрика пространства .

Имеем:

Рассмотрим:

Если решение интегрального уравнения.

Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.[править]

Скалярным произведением в вещественном (унитарном) линейном пространстве называется вещественнозначная (комплекснозанчная) функция , определенная на и обладающая свойствами:

Вещественное (комплексное) линейное пространство с введенными в нем скалярным произведением называется евклидовым (унитарным) пространством. Всякое евклидовое (унитарное) пространство является нормированным с нормой:

Полное бесконечно мерное евклидово (унитарное) пространство Называется гилбертовым пространством.

- ортонормированная система в

; Обозначим: - частичная сумма ряда Фурье. - замкнутое подпространство в .

По свойствам ортогоального дополнения Заметим, что

Так как:

Рассмотрим

Таким образом имеем:

(так как , потому что , а )

Утверждение. Справедливо неравенство Бесселя:


Доказательство.


Следствие. , так как это необходимое условие сходимости ряда


Утверждение. Равенство Парсеваля: справедливо , то есть тогда когда


Теорема. Ортонормированная система полна для всякого , ( представляется рядом Фурье)
Доказательство. Система полна: для , то есть
  1. Если для последовательность частичных сумм система полна.
  2. Пусть система - полна.\\ Тогда для

- замкнутое подпрстранство

Рассмотрим


Лемма. Если - ортонормированная система в и , то


Доказательство. Частичная сумма

;


Теорема Рисса-Фишера.  Пусть - ортонормированная система в пространстве , (где - пространство последовательностей, таких что )

Тогда и

Доказательство. Существование эквивалентно фундаментальности последовательности частичных сумм: . Пусть тогда

так как ряд сходится последовательность частичных сумм фундаментальна, сходится к некоторому элементу, назовем его . - равенство Парсеваля.