Метрические и топологические пространства

Метрические пространства

Множество $M\ne \varnothing$ называется метрическим пространством, если на множестве $M\times M$ введена функция: $\rho :M\times M\to ℝ$, удовлетворяющая аксиомам:

1. $\rho (x,y)\ge 0,(\rho (x,y)=0\iff x=y)$
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x)\mathrm{\forall }x,y\in M$
3. $\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)\mathrm{\forall }x,y,z\in M,\rho$ - метрика

$\rho (x,y)$ - расстояние между $x$ и $y$

Пусть есть последовательность $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset M,x\in M$

$x_n\to x$ при $n\to \mathrm{\infty }\iff \rho (x_n,x)\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$

Определение. Последовательность $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$- фундаментальная:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon ):\rho (x_n,x_m)<\epsilon \mathrm{\forall }n,m>N(\epsilon )$

Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится(к элементу этого пространства).

В полных пространствах понятие фундаментальности и сходимости эквивалентно.

Принцип сжимающих отображений

Пусть есть отображение $A$, метрического пространства $M$ в себя $A:M\to M$ Точка $x$ называется неподвижной точкой отображения $A$, если $Ax=x$.

Определение. Отображение $A$ называется сжимающим если $\mathrm{\exists }q,0\le q<1:\rho (Ax,Ay)\le q\cdot \rho (x,y),\mathrm{\forall }x,y\in M$

Теорема Банаха.  (Принцип сжимающих отображений)

Всякое сжимающее отображение, действующее в полном метрическом пространстве имеет и при том одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть $\mathrm{\exists }$ отображение $A:M\to M$. $M$ - полное пространство, отображение $A$ - сжимающее. Возьмем некоторый $x_0\in M$ и построим последовательность $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:x_{n+1}=A{x}_n,\mathrm{\forall }n\ge 0$

Покажем что последовательность фундаментальна: рассмотрим $\rho (x_m,x_n)\le \rho (x_m,x_{m-1})+\rho (x_{m-1},x_{m-2})+\mathrm{...}+\rho (x_{n+1},x_n)$

$\rho (x_{n+1},x_n)\le q\rho (x_n,x_{n-1})\le \mathrm{...}\le q^n\rho (x_1,x_0)\Rightarrow \rho (x_m,x_n)\le (q^{m-1}+q^{m-2}+\mathrm{...}+q^n)\rho (x_1,x_0)\le \frac{q^n}{1-q}\rho (x_1,x_0)<\epsilon ,\mathrm{\forall }m>n>N(\epsilon )\Rightarrow$ последовательность фундаментальная $\Rightarrow$ $x_n$ сходится к некоторому $x\in M$

Перейдем к пределу в $x_{n+1}=A{x}_n$ при $n\to \mathrm{\infty }$ имеем: $x=Ax\Rightarrow x$ является неподвижной точкой отображения $A$.

Покажем единственность: Пусть $\mathrm{\exists }{x}_1,x_2$ - две неподвижные точки $x_1=A{x}_1,x_2=A{x}_2;\rho (x_1,x_2)=\rho (A{x}_1,A{x}_2)\le q\rho (x_1,x_2)\Rightarrow x_1=x_2$

Примеры применения принципа сжимающих отображений

1. Решение нелинейных уравнений:$x=\varphi (x),|\varphi (x_1)-\varphi (x_2)|\le q|x_1-x_2|$, $0\le q<1\Rightarrow |{\varphi }^{\prime }(x)|\le q<1,\mathrm{\forall }x$
2. Система линейных алгебраических уравнений:$x=Bx+x$; $x\in {ℝ}^m$, $B(x\times m)$, $c\in {ℝ}^m$. В роли метрического пространства выступает $M={ℝ}^m$. Введем метрику: $\rho (x,y)=\Vert x-y\Vert$. Чтобы применить ПСО надо привести к виду $x=\varphi (x)$. В данном случае $\varphi (x)=Bx+c$; $\rho (\varphi (x),\varphi (y))=\Vert Bx-By\Vert =\Vert B(x-y)\Vert \le \Vert B\Vert \cdot \Vert x-y\Vert$. Чтобы был применим принцип ПСО потребуем $q=\Vert B\Vert <1$, тогда $\mathrm{\exists }!$ решение СЛАУ
3. Линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

$U(x)={\int }_a^{b}k(x,s)U(s)ds+f(x),x\in [a,b]$, некоторой величиной является $U(x)$. Заданы $k(x,s)$ - ядро, $f(x)$ - правая часть.

В качестве метрического пространства возьмем $M=C[a,b]$.

Предполагаем: $U\in M,k\in C({[a,b]}^2),f\in M$

$S(U,V)=max[a,b]|U(x)-V(x)|$ - метрика пространства $M$.

Имеем: $U=\varphi (U),\varphi ={\int }_a^{b}k(x,s)U(s)ds$

Рассмотрим: $\rho (\varphi (U),\varphi (V))=maxx\in [a,b]|{\int }_a^{b}k(x,s)(U(s)-V(s))ds|\le \underset{q}{\underbrace{maxx\in [a,b]{\int }_a^b|k(x,s)ds|}}maxx\in [a,b](U(x)-V(x))$

Если $0<q<1\Rightarrow \mathrm{\exists }!$ решение $U$ интегрального уравнения.

Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Скалярным произведением в вещественном (унитарном) линейном пространстве $E$ называется вещественнозначная (комплекснозанчная) функция $(x,y)$, определенная на $E\times E$ и обладающая свойствами:

1. $(x,y)=(y,x)x,y\in E((x,y)=\overline{(y,x)}\mathrm{\forall }x,y\in E)$
2. $(x_1+x_2,y)=(x_1,y)+(x_2,y)\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,y\in E$
3. $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)\mathrm{\forall }x,y\in E\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ(\mathrm{\forall }\lambda \in ℂ)$
4. $(x,x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in E,(x,x)=0\iff x=0$

Вещественное (комплексное) линейное пространство $E$ с введенными в нем скалярным произведением называется евклидовым (унитарным) пространством. Всякое евклидовое (унитарное) пространство $E$ является нормированным с нормой: $\Vert x\Vert =(x,x{)}^{\frac{1}{2}}$

Полное бесконечно мерное евклидово (унитарное) пространство $H$ Называется гилбертовым пространством.

$\{e_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ - ортонормированная система в $H$

$(e_n,e_k)=0,n\ne k,\Vert e_n\Vert =1\mathrm{\forall }n$

$f\in H\to \underset{\text{Fourier series}}{\underbrace{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}_n}},\underset{\text{Fourier koef.}}{\underbrace{c_n=(f,e_n)}}$; Обозначим: $S_n(f)=\sum _{n=1}^N(f,e_n)e_n$ - частичная сумма ряда Фурье. $L_N=Span\{e_1,\mathrm{...},e_N\}$ - замкнутое подпространство в $H$.

По свойствам ортогоального дополнения $f=g+h,g\in L_N,h\in L_N^{\mathrm{\perp }}$ Заметим, что $g=\sum _{n=1}^N{c}_n{e}_n,c_n=(f,e_n)$

Так как: $(f,e_n)=(g,e_n)+\underset{0}{\underbrace{(h,e_n)}},1\le n\le N\Rightarrow (f,e_n)=(g,e_n)=(\sum _{n-1}^N{c}_n{e}_n,e_n)\Rightarrow c_n=(f,e_n)$

$\Vert f-S_N(f)\Vert \le \Vert f-y\Vert ,y\in L_N$

Рассмотрим $\Vert S_N(f)\Vert :\Vert S_N(f){\Vert }^2=\Vert \sum _{n=1}^N{c}_n{e}_n{\Vert }^2=\sum _{n=1}^N|c_n{|}^2$

Таким образом имеем:

$f=S_N(f)+(f-S_N(f));\Vert f{\Vert }^2=\Vert S_N(f){\Vert }^2+\Vert f-S_N(f){\Vert }^2$ (так как $(S_N(f),f-S_N(f))=0$, потому что $S_N(f)=g\in L_N$, а $(f-S_N(f))=h\in L_N^{\mathrm{\perp }}$)

Утверждение. Справедливо неравенство Бесселя: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2\le \Vert f{\Vert }^2$

Доказательство. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2+\Vert f-S_N(f){\Vert }^2=\Vert f{\Vert }^2\Rightarrow \sum _{n=1}^N|c_n{|}^2\le \Vert f{\Vert }^2\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2\le \Vert f{\Vert }^2$

Следствие. $C_n\to [n\to \mathrm{\infty }]0$, так как это необходимое условие сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$

Утверждение. Равенство Парсеваля: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2=\Vert f{\Vert }^2$ справедливо $\iff$ $\Vert f-S_N(f)\Vert \to [N\to \mathrm{\infty }]0$, то есть тогда когда $f=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(f,e_n)e_n$

Теорема. Ортонормированная система $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ полна $\iff$ для всякого $f\in H$, $f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(f,e_k)e_k$ ($f$ представляется рядом Фурье)

Доказательство. Система $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ полна: для $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\sum _{k=1}^N{\alpha }_k{e}_k:\Vert \sum _{k=1}^N{\alpha }_k{e}_k-f\Vert \le \epsilon \mathrm{\forall }f\in H$, то есть $\overline{Span(\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }})}=H$

1. $(\Leftarrow )$ Если для $\mathrm{\forall }f\in H:f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(f,e_k)e_k\Rightarrow$ последовательность частичных сумм $S_N(f)=\sum _{k=1}^N(f,e_k)e_k\to f\Rightarrow$ система полна.
2. $(\Rightarrow )$ Пусть система $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ - полна.\\ Тогда для $\mathrm{\forall }A\in H,\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\sum _{k=1}^N{\alpha }_k{e}_k:\Vert \sum _{k=1}^N{\alpha }_k{e}_k-f\Vert <\epsilon$

$\sum _{k=1}^N{\alpha }_k{e}_k\in L_N=Span\{e_1,\mathrm{...},e_n\}$ - замкнутое подпрстранство $H$

$\Vert S_N(f)-f\Vert \le \Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k{e}_k-f\Vert <\epsilon$

Рассмотрим $S_n(f),n>N:\Vert S_n(f)-f\Vert \le \Vert S_N(f)-f\Vert <\epsilon ,\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow S_n(f)\to [n\to \mathrm{\infty }]f\Rightarrow f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(f,e_k)e_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$

Лемма. Если $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ - ортонормированная система в $H$ и $f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}_k$, то $c_k=(f,e_k)$

Доказательство. Частичная сумма $S_N=\sum _{k=1}^N{c}_k{e}_k\to f$

$(S_N,e_k)=c_k,\mathrm{\forall }N\ge k$; $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(S_N,e_k)=(f,e_k)\Rightarrow c_k(f,e_k)$

Теорема Рисса-Фишера.  Пусть $(e_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ - ортонормированная система в пространстве $H$, $c=\{c_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\in l_2$ (где $l_2$ - пространство последовательностей, таких что $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^2$)

Тогда $\mathrm{\exists }g\in H:g=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}_k$ и $\Vert g{\Vert }_H=\Vert c{\Vert }_{l_2}$

Доказательство. Существование $g$ эквивалентно фундаментальности последовательности частичных сумм: $\{S_N\},S_N=\sum _{k=1}^N{c}_k{e}_k$. Пусть $M>N$ тогда

$\Vert S_M-S_N{\Vert }^2=\sum _{k=N+1}^M|c_k{|}^2<\epsilon \mathrm{\forall }M,N>N_0(\epsilon )$ так как ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|c_k{|}^2$ сходится $\Rightarrow$ последовательность частичных сумм фундаментальна, сходится к некоторому элементу, назовем его $g$. $\Vert g\Vert =\Vert c{\Vert }_{l_2}$ - равенство Парсеваля.