Начально-краевые задачи для гиперболического уравнения

Уравнения гиперболического типа в общем виде: $a(x,y){\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+2b(x,y){\frac {\partial ^{2}U}{\partial x\partial y}}+c(x,y){\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+\Phi =0$

Обозначим $d=b^{2}-ac$. Тогда при замене $\xi =\xi (x,y)\in C^{2};\eta =\eta (x,y)\in C^{2}$ получим $a({\frac {\partial \xi }{\partial x}})^{2}+2b({\frac {\partial \xi }{\partial x}}{\frac {\partial \xi }{\partial y}})+c({\frac {\partial \xi }{\partial y}})^{2}=0$. Аналогично для $\eta$. Если $d>0$ - то уравнение имеет гиперболический вид. Канонический вид для гиперболических уравнений ${\frac {\partial ^{2}{\tilde {U}}}{\partial \xi \partial \eta }}+{\tilde {\Phi }}=0$

Рассмотрим на примере волнового уравнения ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial U^{2}}{\partial x^{2}}}$. Тогда начальная краевая задача Коши для уравнения гиперболического типа имеет вид:

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial U^{2}}{\partial x^{2}}};0<x<l,a>0,a=const;\\U(x,0)=\phi (x);{\frac {\partial U}{\partial t}}=\psi (x);\\U(0,t)=0,U(l,t)=0.\end{cases}}$

Смешаная задача для уравнения колебания струны. Решение методом разделения переменных.

пусть $\phi (x),\psi (x)$ - достаточно гладкие. Замена: $U=X(x)T(x)$. Уравнение колебания струны примет вид $X(x)T''(t)=a^{2}X''(x)T(t)$ . Преобразуем его к виду ${\frac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda$

${\begin{cases}X''(x)+\lambda X(x)=0;\\X(0)=0,X(l)=0.\end{cases}}$

Получаем задачу Штурма-Лиувилля $X_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,n=1,2,\dots$

$T''(t)+a^{2}\lambda T(t)=0$

$T_{n}''(t)+a^{2}\lambda _{n}T_{n}(t)=0$

$T_{n}(t)=A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at$

Суперпозиция таких решения имеет вид

$U(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at)\sin {\frac {\pi n}{l}}x$

$t=0:\phi (x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x$

${\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\pi na}{l}}(-A_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at)\sin {\frac {\pi n}{l}}x$

$t=0:\phi (x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\pi na}{l}}B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x$

Если функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную, то ряд Фурье этой функции сходится к ней самой. Нечетно продолжаем функцию $(0,l)\to (-l,l)$

$\phi _{n}={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}\phi (\xi )\sin {\frac {\pi n}{l}}\xi d\xi ,A_{n}=\phi _{n}$

$\psi _{n}={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}\psi (\xi )\cos {\frac {\pi n}{l}}\xi d\xi ,B_{n}={\frac {1}{\pi na}}\phi _{n}$

Обоснование. Докажем, что ряд сходится равномерно (по признаку Вейерштрасса). Мажорирующий ряд: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(|A_{n}|+|B_{n}|)$. Проверим сходимость ряда из производных. Их мажорирующие ряды: ${\frac {\pi a}{l}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }n(|A_{n}|+|B_{n}|)$ и $c_{i}\sum \limits _{n=1}^{\infty }n^{2}(|A_{n}|+|B_{n}|)$.

Условие: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n^{k}|\phi _{n}|$ сходится при $k=0,1,2$ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n^{k}|\psi _{n}|$ сходится при $k=-1,0,1$

Теорема из рядов Фурье: Если функция $f(x)$ с периодом $2l$ имеет $k$ непрерывных производных, а $(k+1)$-ая производная кусочно-непрерывна, тогда ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n^{k}(|a_{n}|+|b_{n}|)$ сходится ($a_{n},b_{n})$ - коэффициенты при $\sin$ и $\cos$).

Наложим на $\phi$ и $\psi$ следующие условия:

1) $\phi (x)$ дважды непрерывно дифференцируема на $(0,l)$, а третья производная кусочно-непрерывна на $(0,l):\phi (0)=\phi (l)=0,\phi ''(0)=\phi ''(l)=0$ - условия для нечетного продолжения.

2) $\psi (x)$ непрерывно дифференцируема на $(0,l)$ (один раз), а вторая производная кусочно-непрерывна на $(0,l):\psi (0)=\psi (l)=0$

Замечание. Решение существует и при меньших ограничениях.

Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения. Решение методом разделения переменных.

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial U^{2}}{\partial x^{2}}}+f(x,t);0<x<l,a>0,a=const,t>0;\\U(x,0)=\phi (x);{\frac {\partial U}{\partial t}}=\psi (x),0\leq x\leq l;\\U(0,t)=0,U(l,t)=0,t\geq 0.\end{cases}}$

Разложим $f,\phi ,\psi$ в ряды Фурье по синусам.

$f(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }f_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x$;

$\phi (x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x$;

$\psi (x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\psi _{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x$;

$f_{n}(t)={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,t)\sin({\frac {\pi n}{l}}\xi )d\xi$;$\phi _{n}={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}\phi (\xi )\sin({\frac {\pi n}{l}}\xi )d\xi$;

$\psi _{n}={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}\psi (\xi )\sin({\frac {\pi n}{l}}\xi )d\xi$;

$U(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x$;

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-{\frac {d^{2}U_{n}(t)}{dt^{2}}}-({\frac {\pi n}{l}})^{2}a^{2}U_{n}+f_{n}(t))\sin {\frac {\pi n}{l}}x=0$; ${\frac {d^{2}U_{n}(t)}{dt^{2}}}+({\frac {\pi n}{l}})^{2}a^{2}U_{n}=f_{n}(t)$

$U(x,0)=\phi (x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(0)\sin {\frac {\pi n}{l}}x=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}\Rightarrow U_{n}(0)=\phi _{n}$

${\frac {\partial U}{\partial t}}(x,0)=\psi (x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {dU_{n}}{dt}}(0)\sin {\frac {\pi n}{l}}x=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\psi _{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}\Rightarrow {\frac {dU_{n}}{st}}(0)=\psi _{n}$

Решение: $U_{N}(t)=U_{n}^{(1)}(t)+U_{n}^{(2)}(t)$,

где $U_{n}^{(1)}(t)={\frac {l}{\pi na}}\int \limits _{0}^{t}\sin {\frac {\pi na}{l}}(t-\tau )f_{n}(\tau )d\tau$,

$U_{n}^{(2)}(t)=\phi _{n}\cos {\frac {\pi na}{l}}t+{\frac {l}{\pi na}}\psi _{n}\sin {\frac {\pi na}{l}}t$

${\frac {dU_{n}^{(1)}}{dt}}=\int \limits _{0}^{t}\cos {\frac {\pi na}{l}}(t-\tau )f_{n}(\tau )d\tau$,

${\frac {d^{2}U_{n}^{(1)}}{dt^{2}}}=f_{n}(t)-{\frac {\pi na}{l}}\int \limits _{0}^{t}\sin {\frac {\pi na}{l}}(t-\tau )f_{n}(\tau )d\tau =f_{n}(t)-({\frac {\pi na}{l}})^{2}U_{n}^{(1)}$,

$U(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {l}{\pi na}}[\int \limits _{0}^{t}\sin {\frac {\pi na}{l}}(t-\tau )f_{n}(\tau )d\tau ]\sin {\frac {\pi n}{l}}x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }[\phi _{n}\cos {\frac {\pi na}{l}}t+{\frac {l}{\pi na}}\psi _{n}\sin {\frac {\pi na}{l}}]\sin {\frac {\pi n}{l}}x=U^{(1)}(x,t)+U^{(2)}(x,t)$

$U^{(1)}$ - вынужденные колебания под действием силы $f$ при нулевых начальных условиях. $U^{(2)}$ - свободные колебания при $\phi$ и $\psi$.

$U^{(1)}(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}\int \limits _{0}^{t}{\frac {l}{\pi na}}\sin {\frac {\pi na}{l}}(t-\tau )\sin({\frac {\pi n}{l}}x)\sin({\frac {\pi n}{l}}\xi )f(\xi ,\tau )d\xi d\tau =\int \limits _{0}^{l}\int \limits _{0}^{t}G(x,\xi ,t-\tau )f(\xi ,\tau )d\xi d\tau$

$G(x,\xi ,t-\tau )={\frac {2}{\pi a}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\sin {\frac {\pi na}{l}}(t-\tau )\sin({\frac {\pi n}{l}}x)\sin({\frac {\pi n}{l}}\xi )$

С ненулевыми условиями:

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial U^{2}}{\partial x^{2}}}+f(x,t);0<x<l,a>0,a=const,t>0;\\U(x,0)=\phi (x);{\frac {\partial U}{\partial t}}=\psi (x),0\leq x\leq l;\\U(0,t)=\mu _{1},U(l,t)=\mu _{2},t\geq 0.\end{cases}}$

$V(x,t)=U(x,t)-\omega (x,t);\omega (x,t)=\mu _{1}(t)+{\frac {x}{l}}(\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t))$