Начально-краевые задачи для гиперболического уравнения

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнения гиперболического типа в общем виде:

Обозначим . Тогда при замене получим . Аналогично для . Если - то уравнение имеет гиперболический вид. Канонический вид для гиперболических уравнений

Рассмотрим на примере волнового уравнения . Тогда начальная краевая задача Коши для уравнения гиперболического типа имеет вид:

Смешаная задача для уравнения колебания струны. Решение методом разделения переменных.

пусть - достаточно гладкие. Замена: . Уравнение колебания струны примет вид . Преобразуем его к виду

Получаем задачу Штурма-Лиувилля

Суперпозиция таких решения имеет вид

Если функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную, то ряд Фурье этой функции сходится к ней самой. Нечетно продолжаем функцию

Обоснование. Докажем, что ряд сходится равномерно (по признаку Вейерштрасса). Мажорирующий ряд: . Проверим сходимость ряда из производных. Их мажорирующие ряды: и .

Условие: сходится при и сходится при

Теорема из рядов Фурье: Если функция с периодом имеет непрерывных производных, а -ая производная кусочно-непрерывна, тогда ряд сходится ( - коэффициенты при и ).

Наложим на и следующие условия:

1) дважды непрерывно дифференцируема на , а третья производная кусочно-непрерывна на - условия для нечетного продолжения.

2) непрерывно дифференцируема на (один раз), а вторая производная кусочно-непрерывна на

Замечание. Решение существует и при меньших ограничениях.


Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения. Решение методом разделения переменных.

Разложим в ряды Фурье по синусам.

;

;

;

;;

;

;

;

Решение: ,

где ,

,

,

- вынужденные колебания под действием силы при нулевых начальных условиях. - свободные колебания при и .

С ненулевыми условиями: