Начально-краевые задачи для параболического уравнения

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
- уравнеие теплопроводности

Краевые условия:

  1. I рода - на границе задана температура .
  2. II рода - на границе задан поток тепла.
  3. III рода - на границе теплообмен с внешней средой, в которой температура .

Пусть - одномерный интервал .

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности

+ Функция должна быть непрерывна + Должны выполняться условия согласования:

Такие задачи встречаются в областях, бесконечных по или по .

Задача Коши уравнения теплопроводности[править]

Общий вид уравнения:

Если , то уравнение параболическое

Замена:

Получаем:

Аналогично для :

Канонический вид:

Рассматриваем на примере уравнения теплопроводности:

Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Случай нулевых граничных условий[править]

Ищем решение такой задачи в виде:

Задача распадается на два обычных уравнения:

При нетривиальных решений у нет.

При

Пусть

- решение

равны коэффициентам ряда Фурье при разложении функции в ряд Фурье по синусам:

Подставим в формулу и получаем формально построенное решение.

Обоснование решения. Надо доказать, что ряд сходится и его можно почленно дифференцировать.

Рассмотрим , где - сколь угодно малое, тогда

где

Получим:

Мажорируется рядом

Докажем что сходится:

ряд сходитя, следовательно по признаку Веерштрасса наш ряд сходится равномерно, следовательно его можно почленно дифференцировать любое кол-во раз, так как - любое, то это справедливо для .

Следствие: ряд можно почленно дифф-ть какое угодно кол-во раз.

Непрерывность[править]

Наложим дополнительные условия:

имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке . Тогда при :

--- мажорирующий ряд для рядов Фурье

Чем выше гладкость функции, тем быстрее на бесконечности убывают коэффициенты ряд сходится равномерная сходимость исходного ряда на прямоугольнике - непрерывная функция.

Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Первая краевая задача с неоднородными граничными условиями.[править]

Сведем эту задачу к задаче с нулевыми граничными условиями:

- удовлетворяет граничным условиям

. Задача для имеет вид:

где

Пусть . Рассмотрим 2 задачи:

Нужно решить задачу : Будем искать

Подставим в уравнение :

- неоднородное линенйное дифференциальное уравнение

- однородное линеное уравнение

- решение однородного

Решение неоднородного:

Подставим в :

Проинтегрируем с учетом нулевого условия:

Если - достаточно гладкая функция, то ряд сходится и он будет решением задачи для .