Объем параллелепипеда

Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Объем параллелепипеда

Любой параллелепипед $O A D B C A^{'} D^{'} B^{'}$ однозначно задается векторами $𝐚 = \vec{O A}$ , $𝐛 = \vec{O B}$ и $𝐜 = \vec{O C}$ .

Найдем выражение объема через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Объем параллелепипеда определяется по формуле $V = S_{Π (𝐚, 𝐛)} \cdot h = | 𝐚 | | 𝐛 | \sin φ \cdot | 𝐜 | \cos ψ$ , где $φ$ — угол между векторами $𝐚$ и $𝐛$ , а $ψ$ — угол между вектором $𝐜$ и перпендикуляром к плоскости, в которой лежат $𝐚$ и $𝐛$ .

\begin{matrix} V & = | 𝐚 | | 𝐛 | | 𝐜 | \sin φ \cos ψ = | 𝐚 | | 𝐛 | | 𝐜 | \cos ψ \sqrt{1 - \cos^{2} φ} = | 𝐚 | | 𝐛 | | 𝐜 | \frac{| 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛) |}{| 𝐜 | | (𝐚 \times 𝐛) |} \sqrt{1 - \frac{(𝐚 \cdot 𝐛)^{2}}{| 𝐚 |^{2} | 𝐛 |^{2}}} = \\ = | 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛) | \frac{\sqrt{| 𝐚 |^{2} | 𝐛 |^{2} - (𝐚 \cdot 𝐛)^{2}}}{| (𝐚 \times 𝐛) |} = | 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛) | \frac{S_{Π (𝐚, 𝐛)}}{S_{Π (𝐚, 𝐛)}} = | 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛) | = | (𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜 | \end{matrix}

Пусть координаты векторов $𝐚 = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ $𝐛 = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ $𝐜 = {c_{1}, c_{2}, c_{3}}$ . В ортонормированном базисе

𝐚 \times 𝐛 = {| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} |, - | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} |, | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} |}

V = | | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | c_{1} - | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | c_{2} + | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | c_{3} |

Рассмотрим выражение $V^{'} = | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | c_{1} - | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | c_{2} + | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | c_{3}$ . Это выражение называют определителем трехмерной матрицы и обозначают $det [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}] = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} | = a_{1} b_{2} c_{3} + a_{2} b_{3} c_{1} + a_{3} b_{1} c_{2} - a_{1} b_{3} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{3} - a_{3} b_{2} c_{1}$ .

В этих обозначениях векторное произведение можно записать в виде

𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐞_{1} & 𝐞_{2} & 𝐞_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} |

.

Можно показать, что аналогично плоскому случаю знак $V^{'}$ совпадает с ориентацией тройки $(𝐚, 𝐛, 𝐜)$ .

Величина, по модулю совпадающая с объемом параллелепипеда, а по знаку — с ориентацией тройки векторов, определяющих его, называется ориентированным объемом параллелепипеда. В ортонормированной системе координат ориентированный объем вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелепипед.