Площадь параллелограмма

Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Площадь параллелограмма

Любой параллелограмм $O A C B$ однозначно задается векторами $𝐚 = \vec{O A}$ и $𝐛 = \vec{O B}$ . Будем обозначать параллелограмм, определяемый векторами $𝐚$ и $𝐛$ , символом $Π (𝐚, 𝐛)$

Найдем выражение площади через координаты векторов в ортонормированном базисе. (В произвольном базисе выражения получаются громоздкими и не несут полезной информации.)

Площадь параллелограмма определяется по формуле $S_{Π (𝐚, 𝐛)} = | 𝐚 | | 𝐛 | \sin φ$ , где $φ$ — угол между векторами.

S_{Π (𝐚, 𝐛)} = | 𝐚 | | 𝐛 | \sin φ = | 𝐚 | | 𝐛 | \sqrt{1 - \cos^{2} φ} = | 𝐚 | | 𝐛 | \sqrt{1 - \frac{(𝐚 \cdot 𝐛)^{2}}{| 𝐚 |^{2} | 𝐛 |^{2}}} = \sqrt{| 𝐚 |^{2} | 𝐛 |^{2} - (𝐚 \cdot 𝐛)^{2}}

Пусть координаты векторов $𝐚 = {a_{1}, a_{2}}$ $𝐛 = {b_{1}, b_{2}}$ . В ортонормированном базисе

| 𝐚 |^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}, | 𝐛 |^{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2}, 𝐚 \cdot 𝐛 = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

S_{Π (𝐚, 𝐛)} = \sqrt{a_{1}^{2} b_{1}^{2} + a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2} + a_{2}^{2} b_{2}^{2} - a_{1}^{2} b_{1}^{2} - 2 a_{1} b_{1} a_{2} b_{2} - a_{2}^{2} b_{2}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} b_{2}^{2} - 2 a_{1} b_{2} a_{2} b_{1} + a_{2}^{2} b_{1}^{2}} = | a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |

Рассмотрим выражение $S^{'} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ . Это выражение называют определителем двумерной матрицы и обозначают $det [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}] = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ .

В ортонормированной системе координат

a_{1} = | 𝐚 | \cos α

a_{2} = | 𝐚 | \sin α

b_{1} = | 𝐛 | \cos β

b_{2} = | 𝐛 | \sin β

S^{'} = | 𝐚 | | 𝐛 | (\cos α \sin β - \sin α \cos β) = | 𝐚 | | 𝐛 | \sin (β - α)

где $α$ и $β$ — углы между первым базисным вектором и векторами $𝐚$ и $𝐛$ соответственно, отсчитываемые в положительном направлении, заданном базисными векторами.

Если $S^{'} = 0$ , то $β = α$ , векторы $𝐚$ и $𝐛$ коллинеарны.

Если $S^{'} > 0$ , то $\sin (β - α) > 0$ и угол $β - α$ лежит в промежутке $(0, π)$ . Это означает, что векторы $𝐚$ и $𝐛$ ориентированны положительно относительно базиса.

Аналогично, если $S^{'} < 0$ , то векторы $𝐚$ и $𝐛$ ориентированны отрицательно относительно базиса.

Величина, по модулю совпадающая с площадью параллелограмма, а по знаку — с ориентацией пары векторов, определяющих его, называется ориентированной площадью параллелограмма. В ортонормированной системе координат ориентированная площадь вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелограмм.