Перейти к содержанию

Площадь параллелограмма

Материал из Викиверситета
Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Площадь параллелограмма

[править]

Любой параллелограмм однозначно задается векторами и . Будем обозначать параллелограмм, определяемый векторами и , символом

Найдем выражение площади через координаты векторов в ортонормированном базисе. (В произвольном базисе выражения получаются громоздкими и не несут полезной информации.)

Площадь параллелограмма определяется по формуле , где — угол между векторами.

Пусть координаты векторов . В ортонормированном базисе

Рассмотрим выражение . Это выражение называют определителем двумерной матрицы и обозначают .

В ортонормированной системе координат

где и — углы между первым базисным вектором и векторами и соответственно, отсчитываемые в положительном направлении, заданном базисными векторами.

Если , то , векторы и коллинеарны.

Если , то и угол лежит в промежутке . Это означает, что векторы и ориентированны положительно относительно базиса.

Аналогично, если , то векторы и ориентированны отрицательно относительно базиса.

Величина, по модулю совпадающая с площадью параллелограмма, а по знаку — с ориентацией пары векторов, определяющих его, называется ориентированной площадью параллелограмма. В ортонормированной системе координат ориентированная площадь вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелограмм.