Прямые и плоскости

Прямые на плоскости

Уравнения прямой

Направляющий вектор прямой — это любой ненулевой вектор, коллинеарный ей. Так как всякие два направляющих вектора одной прямой коллинеарны друг другу, то один из них получается из другого умножением на некоторое число, не равное нулю.

Пусть известны координаты точки $M_{0}(x_{0},y_{0})$, лежащей на прямой, и направляющий вектор $\mathbf {a}$. Тогда для любой точки $M(x,y)$ этой прямой векторы ${\overrightarrow {M_{0}M}}$ и $\mathbf {a}$ коллинеарны. Значит существует такое число $t$, что

${\overrightarrow {M_{0}M}}=t\mathbf {a}$

(1)

С другой стороны, всякая точка $M$, для которой выполнено условие (1), лежит на рассматриваемой прямой. Таким образом, этому условию удовлетворяют все точки прямой и только они. Обозначим через $\mathbf {r} _{0}$ и $\mathbf {r}$ радиусы-векторы точек $M_{0}$ и $M$ соответственно. Тогда ${\overrightarrow {M_{0}M}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ и уравнение принимает вид

$\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}=t\mathbf {a}$

или

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+t\mathbf {a}$.

(2)

Уравнение (2) называют векторным уравнением прямой.

Если направляющий вектор имеет координаты $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\}$, то вместо равенства векторов можно записать равенство их координат:

${\begin{cases}x=x_{0}+ta_{1}\\y=y_{0}+ta_{2}\end{cases}}$

(3)

Это параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_{0},y_{0})$ с направляющим вектором $\{a_{1},a_{2}\}$.

Исключая из параметрического уравнения параметр $t$, получаем каноническое уравнение прямой:

${\frac {x-x_{0}}{a_{1}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{2}}}$

(4)

Если, например, $a_{1}=0$, то данное уравнение переписывают в виде $x-x_{0}=0$.

Придем уравнение (4) к общему знаменателю:

$a_{2}x-a_{2}x_{0}-a_{1}y+a_{1}y_{0}=0$

Обозначим $A=a_{2},B=-a_{1},C=a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}$, запишем в виде

$Ax+By+C=0$

(5)

Это общее уравнение прямой на плоскости.

Поскольку вектор $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\}$ — ненулевой, то хотя бы один из коэффициентов $a_{1},a_{2}$ отличен от нуля. Значит левая часть уравнения (5) — многочлен первой степени от неизвестных $x$ и $y$.

Теорема. На плоскости прямые и только прямые описываются уравнениями первой степени.

Доказательство. Прямая — уравнение первой степени. Возьмем частное решение $(x_{0},y_{0})$ уравнения (5) и рассмотрим прямую $l$, проходящую через точку $M_{0}(x_{0},y_{0})$, с направляющим вектором $\mathbf {a} =\{-B,A\}$. Возьмем теперь произвольную точку $M(x,y)$ на прямой $l$ и покажем, что ее координаты удовлетворяют уравнению (5). Рассмотрим равенство

$A\cdot (-Bt)+B\cdot At=0$

Согласно (1) существует такое число $t$, что

$\{x-x_{0},y-y_{0}\}=t\{-B,A\}$

Отсюда

$A\cdot (x-x_{0})+B\cdot (y-y_{0})=0$

или

$Ax+By-Ax_{0}-By_{0}=0$

(∗)

Поскольку $(x_{0},_{0})$ — решение уравнения (5), то $C=-Ax_{0}-By_{0}$. Значит, равенство (∗) совпадает с равенством (5), то есть координаты всякой точки $M$, принадлежащей $l$, удовлетворяют уравнению (5).

Уравнение первой степени — прямая. Пусть точка $M(x,y)$ удовлетворяет уравнению (5). Тогда из того, что точка $M_{0}(x_{0},y_{0})$ также удовлетворяет этому условию, следует

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0$

или

${\frac {x-x_{0}}{-B}}={\frac {y-y_{0}}{A}}$

Значит, векторы ${\overrightarrow {M_{0}M}}=\{x-x_{0},y-y_{0}\}$ и $\mathbf {a} =\{-B,A\}$ пропорциональны. Следовательно, согласно (1) точка $M$ лежит на прямой. $\Box$

Из доказательства следует, что направляющий вектор прямой, задаваемой уравнением (5), — $\{-B,A\}$.

Если $B\neq 0$, то уравнение (5) можно переписать в виде

$y=-{\frac {A}{B}}x-{\frac {C}{B}}$

или

$y=kx+b$

(6)

Стоит отметить, что в произвольной системе координат угловой коэффициент $k$ не является тангенсом угла наклона прямой к оси абсцисс, как в прямоугольной системе координат.

Если на прямой заданы две точки $M_{0}(x_{0},y_{0})$ и $M_{1}(x_{1},y_{1})$, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор $\{x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\}$. Тогда каноническое уравнение приобретает вид

${\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}$

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут

• совпадать;
• быть параллельными;
• пересекаться.

Пусть даны две прямые $l_{1}$ и $l_{2}$, задаваемые уравнениями $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$ соответственно. Определим условия, необходимые и достаточные для определения взаимного расположения данных прямых.

Теорема. Для того чтобы прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ совпадали необходимо и достаточно, чтобы

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$

(7)

Доказательство. Необходимость. Векторы $\{-B_{1},A_{1}\}$ и $\{-B_{2},A_{2}\}$ являются направляющими для прямых $l_{1}$ и $l_{2}$, значит, они коллинеарны. Существует такое число $\lambda$, что

$\{-B_{1},A_{1}\}=\lambda \{-B_{2},A_{2}\}$

Умножим уравнение второй прямой на $\lambda$ и вычтем его из уравнения первой прямой.

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}-\lambda A_{2}x-\lambda B_{2}y-\lambda C_{2}=C_{1}-\lambda C_{2}=0$

Это равносильно условию (7). Достаточность. Из условия (7) следует, что

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2})$

для некоторого $\lambda$, то есть уравнения, задающие прямые $l_{1}$ и $l_{2}$, эквивалентны. $\Box$

Теорема. Прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}\neq {\frac {C_{1}}{C_{2}}}$

(8)

Доказательство. Необходимость следует из пропорциональности направляющих векторов и справедливости предыдущей теоремы.

Достаточность. Первая часть условия (8) дает параллельность направляющих векторов, вторая — несовпадение прямых. $\Box$

Теорема. Прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}\neq {\frac {B_{1}}{B_{2}}}$

(9)

Доказательство. Данное утверждение следует из предыдущих двух теорем. $\Box$

Полуплоскости, связанные с данным уравнением

Пусть даны плоскость и лежащая на ней прямая. Две точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой, если отрезок $MN$ не пересекается с данной прямой. Полуплоскостью называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от прямой.

Теорема. Если прямая $l$ на плоскости задана уравнением (5), то множества $F^{+}$ и $F^{-}$ всех точек $M(x,y)$, для которых $Ax+By+C>0$ и $Ax+By+C<0$, являются полуплоскостями, ограниченными прямой $l$.

Доказательство. Пусть точки $M_{0}(x_{0},y_{0})$ и $M_{1}(x_{1},y_{1})$ лежат в множестве $F^{-}$. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку $M(x,y)$ отрезка $M_{0}M_{1}$. Поскольку эта точка делит отрезок в некотором соотношении ${\tfrac {1}{\lambda }}$, ее координаты

$x={\frac {x_{0}+\lambda x_{1}}{1+\lambda }},y={\frac {y_{0}+\lambda y_{1}}{1+\lambda }}$

Учитывая очевидное тождество $C={\tfrac {1}{1+\lambda }}C+{\tfrac {\lambda }{1+\lambda }}C$, получаем

$Ax+By+C={\frac {1}{1+\lambda }}(Ax_{0}+By_{0}+C)+{\frac {\lambda }{1+\lambda }}(Ax_{1}+By_{1}+C)<0,$

так как обе точки $M_{0}$ и $M_{1}$ принадлежат $F^{-}$. По определению полуплоскости $F^{-}$ лежит в одной из полуплоскостей, ограниченных прямой $l$. Аналогичные рассуждения верны и для $F^{+}$. Поскольку плоскость исчерпывается множествами $F^{-}$, $l$ и $F^{+}$, то множества $F^{-}$ и $F^{+}$ лежат в разных полуплоскостях и исчерпывают их. $\Box$

Множество $F^{-}$ называют отрицательной полуплоскостью по отношению к уравнению (5) прямой $l$, а $F^{+}$ — положительной полуплоскостью.

Если ту же прямую задать другим уравнением

$A'x+B'y+C'=0,$

(5')

то существует такое $\lambda$, что ${\tfrac {A'}{A}}={\tfrac {B'}{B}}={\tfrac {C'}{C}}=\lambda$. Очевидно, что при $\lambda >0$ положительная и отрицательная полуплоскости для уравнения (5') совпадают с такими же для уравнения (5), а при $\lambda <0$ полуплоскости меняются местами.

Плоскости в пространстве

Утверждения о плоскости в пространстве аналогичны утверждениям о прямой на плоскости. Основное различие — в размере формул. Поэтому при выводе формул, принципиально не отличающихся от формул для прямой на плоскости, некоторые детали будут опущены.

Уравнения плоскости

Пусть известны координаты точки $M_{0}$ и два неколлинеарных вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, лежащих в плоскости. Рассмотрим произвольную точку $M(x,y,z)$, принадлежащую плоскости. Вектор ${\overrightarrow {M_{0}M}}$, очевидно, лежит в плоскости, что по определению означает, что векторы $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,{\overrightarrow {M_{0}M}}$ компланарны. В силу линейной независимости векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, это значит, что вектор ${\overrightarrow {M_{0}M}}$ можно линейно выразить через $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$:

${\overrightarrow {M_{0}M}}=u\mathbf {a} +v\mathbf {b}$

(10)

Обозначим через $\mathbf {r} _{0}$ и $\mathbf {r}$ радиусы-векторы точек $M_{0}$ и $M$ соответственно. Тогда ${\overrightarrow {M_{0}M}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ и уравнение принимает вид

$\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}=u\mathbf {a} +v\mathbf {b}$

или

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+u\mathbf {a} +v\mathbf {b}$.

(11)

Уравнение (11) называют векторным уравнением плоскости'.

Возьмем некоторую аффинную систему координат в пространстве. Пусть точки и векторы имеют координаты

$M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),M(x,y,z),\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\},\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$

Переходя от равенства векторов к равенству их координат, получаем

${\begin{cases}x=x_{0}+ua_{1}+vb_{1}\\y=y_{0}+ua_{2}+vb_{2}\\z=z_{0}+ua_{3}+vb_{3}\end{cases}}$

(12)

Это параметрические уравнения плоскости. Эквивалентная система уравнений

${\begin{cases}x-x_{0}=ua_{1}+vb_{1}\\y-y_{0}=ua_{2}+vb_{2}\\z-z_{0}=ua_{3}+vb_{3}\end{cases}}$

выражает линейную зависимость столбцов матрицы

${\begin{bmatrix}x-x_{0}&a_{1}&b_{1}\\y-y_{0}&a_{2}&b_{2}\\z-z_{0}&a_{3}&b_{3}\end{bmatrix}}$,

что эквивалентно равенству

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=0$,

(13)

или (после раскрытия определителя по первой строке) уравнению

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$,

Обозначив $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}$, получим общее уравнение плоскости

$Ax+By+Cz+D=0$

(14)

Аналогично случаю плоскости можно доказать, что в пространстве плоскости и только плоскости описываются уравнением первой степени.

Если плоскость задана тремя точками с координатами $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})\quad i=0,1,2$, не лежащими на одной прямой, то принимают $\mathbf {a} ={\overrightarrow {M_{0}M_{1}}},\mathbf {b} ={\overrightarrow {M_{0}M_{2}}}$. Тогда уравнение (13) принимает вид

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\x_{2}-x_{0}&y_{2}-y_{0}&z_{2}-z_{0}\end{vmatrix}}=0$

Взаимное расположение плоскостей

Аналогично случаю прямых на плоскости, можно доказать, что две плоскости, заданные своими общими уравнениями $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$

• совпадают при ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {D_{1}}{D_{2}}}$
• параллельны при ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$
• пересекаются в остальных случаях.

Полупространства, связанные с данным уравнением плоскости

Пусть дана плоскость в пространстве. Две точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от плоскости, если отрезок $MN$ не пересекается с данной плоскостью. Полупространством называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от плоскости.

Аналогично случаю прямой на плоскости множества $F^{+}$ и $F^{-}$ всех точек $M(x,y,z)$, для которых $Ax+By+Cz+D>0$ и $Ax+By+Cz+D<0$, являются полупространсвами, ограниченными плоскостью.

Множество $F^{-}$ называют отрицательным полупространством по отношению к уравнению (14) плоскости, а $F^{+}$ — положительным полупространством.