Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы

Определение. Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы $k\times k,k\le n$). Обозначается $r_A$.

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами.

Определение. Система столбцов $A_1,A_2\dots A_k$ называется линейно зависимой $\iff \mathrm{\exists }$ числа ${\lambda }_1\dots {\lambda }_k$, не все равные нулю и такие что: ${\lambda }_1{A}_1+\dots +{\lambda }_k{A}_k=\Theta$

Теорема о базисном миноре.  Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.

Доказательство. Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима $\Rightarrow$ система коротких столбцов (входящих в длинные) $A_1,A_2\dots A_r$ линейно зависима ($r_A=r)\Rightarrow$ по свойству определителя

$A\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \dots & r\\ 1& 2& \dots & r\end{array}\right)=$БМ$=0.$ Противоречие, т.к. БМ$≠0$.

Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что $i$-ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. $i>r$ (иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой.

Фиксируем $\mathrm{\forall }j>r$. Раскладываем определитель по $j$-ой строке:

$A\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& \dots & r& j\\ 1& 2& \dots & r& i\end{array}\right)=(-1{)}^{j+i}{a}_{j,i}{M}_0+(-1{)}^{j+r}{a}_{j,r}\widetilde{A_r}+(-1{)}^{j+r-1}{a}_{j,r-1}\widetilde{A_{r-1}}+\dots +(-1{)}^{j+1}{a}_{j,1}\widetilde{A_1}=0$ так как минор порядка $(r+1)$ - нулевой (где $M_0$ - БМ $\Rightarrow M_0\ne 0)$. Выражаем $a_{j,i}$: $a_{j,i}={\alpha }_1{a}_{j,1}+{\alpha }_2{a}_{j,2}+\dots +{\alpha }_r{a}_{j,r}$ Получены коэффициенты ${\alpha }_1,\mathrm{...},{\alpha }_r$. Для любого $k$: $a_{k,i}={\alpha }_1{a}_{k,1}+{\alpha }_2{a}_{k,2}+\dots +{\alpha }_r{a}_{k,r}\Rightarrow A_i={\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\dots +{\alpha }_r{A}_r$ (так как $k$ - любое)

Следствие. Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов $A_{i_1},A_{i_2}\dots A_{i_r}$, которые образуют линейно независимую систему, то $r_A=r$.

Доказательство. Столбцы, входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве $r_A$ штук), линейно выражаются через $A_{i_1},A_{i_2}\dots A_{i_r}\Rightarrow r_A⩽r$. Столбцы $A_{i_1},A_{i_2}\dots A_{i_r}$ (в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве $r_A\Rightarrow r⩽r_A\Rightarrow r=r_A$.

Теорема о ранге матрицы.  Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть $r_A=r.\mathrm{\exists }{A}_{i_1}\dots A_{i_m}$ - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов $=m$ (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) $\Rightarrow$ по утверждению 1 (если система линейно независима (количество $k$) и выражается через другую (количество $l$), то $k⩽l$) $m⩽r$, по утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы $\Rightarrow r⩽m\Rightarrow r=m.$