Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
Определение. Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы ). Обозначается .


Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами.


Определение. Система столбцов называется линейно зависимой числа , не все равные нулю и такие что:


Теорема о базисном миноре.  Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.
Доказательство. Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима система коротких столбцов (входящих в длинные) линейно зависима ( по свойству определителя

БМ Противоречие, т.к. БМ.


Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что -ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. (иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой.

Фиксируем . Раскладываем определитель по -ой строке:

так как минор порядка - нулевой (где - БМ . Выражаем : Получены коэффициенты . Для любого : (так как - любое)


Следствие. Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то .


Доказательство. Столбцы, входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве штук), линейно выражаются через . Столбцы (в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве .


Теорема о ранге матрицы.  Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).
Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) по утверждению 1 (если система линейно независима (количество ) и выражается через другую (количество ), то ) , по утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы