Системы координат

Базис

Базисом в пространстве (на плоскости) называется тройка (пара) линейно независимых векторов.

Теорема Всякий вектор пространства (плоскости) однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов соответствующего базиса. Доказательство   Существование. Пусть $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ — базис, $\mathbf {a}$ — произвольный вектор. Четыре вектора всегда линейно зависимы, поэтому существует нетривиальная линейная комбинация $\alpha \mathbf {a} +\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}=0$. Пусть $\alpha =0$. Тогда $\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}=0$ — нетривиальная линейная комбинация, что противоречит условию линейной независимости векторов базиса. Значит $\alpha \neq 0$ и существует линейная комбинация $\mathbf {a} =\left(-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\right)\mathbf {e} _{3}$. Единственность. Предположим обратное. Пусть имеется две различные тройки $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ и $\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}$, причем $\mathbf {a} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}=\beta _{1}\mathbf {e} _{1}+\beta _{2}\mathbf {e} _{2}+\beta _{3}\mathbf {e} _{3}$ Тогда $(\alpha _{1}-\beta _{1})\mathbf {e} _{1}+(\alpha _{2}-\beta _{2})\mathbf {e} _{2}+(\alpha _{3}-\beta _{3})\mathbf {e} _{3}=0$ — нетривиальная линейная комбинация, что противоречит условию линейной независимости базиса. Для плоскости рассуждения аналогичны.

Координаты

Координатами вектора $\mathbf {a}$ относительно базиса $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ называются такие числа $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$, что $\mathbf {a} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}$.

Теорема Координаты суммы векторов равны сумме координат. Координаты $\lambda \mathbf {a}$ равны $\lambda \alpha _{1},\lambda \alpha _{2},\lambda \alpha _{3}$ (в обозначениях предыдущего абзаца). Доказательство   Пусть $\mathbf {a} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}$ и $\mathbf {b} =\beta _{1}\mathbf {e} _{1}+\beta _{2}\mathbf {e} _{2}+\beta _{3}\mathbf {e} _{3}$. $\mathbf {a} +\mathbf {b} =(\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3})+(\beta _{1}\mathbf {e} _{1}+\beta _{2}\mathbf {e} _{2}+\beta _{3}\mathbf {e} _{3})=(\alpha _{1}+\beta _{1})\mathbf {e} _{1}+(\alpha _{2}+\beta _{2})\mathbf {e} _{2}+(\alpha _{3}+\beta _{3})\mathbf {e} _{3}$ $\lambda \mathbf {a} =\lambda (\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3})=(\lambda \alpha _{1})\mathbf {e} _{1}+(\lambda \alpha _{2})\mathbf {e} _{2}+(\lambda \alpha _{3})\mathbf {e} _{3}$

Координатами точки называется набор чисел, однозначно определяющий эту точку. На плоскости для однозначного задания точки достаточно двух чисел, в пространстве — трех. Под системой координат понимают правило, ставящее в соответствие каждой точке пространства определенный набор координат.

Выделяют следующие важные системы координат:

• Аффинная. Если в пространстве выбран репер (произвольная точка $O$ и базис $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$), то говорят, что задана аффинная система координат. Координатами точки $A$ относительно этой системы координат называются координаты вектора ${\overrightarrow {OA}}$ относительно базиса $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$.
  • Прямоугольная (ортогональная). Аффинную систему координат называют ортогональной, если векторы базиса перпендикулярны друг другу.
  • Ортонормированная. Аффинную систему координат называют ортонормированной, если система ортогональна и длины векторов равны единице.

На плоскости аффинная система координат задается аналогично, только базис является двухэлементным.

Цилиндрическая система координат

Сферическая система координат

• Полярная. Полярная система координат на плоскости задается точкой, называемой полюсом, и исходящем из полюса лучом, называемым полярной осью. Координатами точки $A$ называются длина вектора $r=|{\overrightarrow {OA}}|$ и угол $\varphi$ между полярной осью и вектором ${\overrightarrow {OA}}$. Расстояние $r$ называют радиусом, а угол $\varphi$ полярным углом. У полюса $r=0$, а $\varphi$ не определен. У остальных точек полярный угол определен с точностью до слагаемого кратного $2\pi$. Это значит, что пары чисел $(r,\varphi )$ и $(r,\varphi +2k\pi )$, где $k$ — любое целое число, представляют координаты одной и той же точки. В пространстве полярная система обобщается двумя способами. В обоих случаях дополнительно задается единичный вектор $\mathbf {n}$, перпендикулярный полярной оси. Рассматривается точка $A'$ — проекция точки $A$ на плоскость $\pi$, проведенную через точку $O$ перпендикулярно вектору $\mathbf {n}$.
  • Цилиндрическая. В качестве координат точки рассматривают полярные координаты $(r,\varphi )$ вектора ${\overrightarrow {OA'}}$ на плоскости $\pi$ и длину вектора $h=|{\overrightarrow {A'A}}|$.
  • Сферическая. Координатами точки $A$ называются длина вектора $r=|{\overrightarrow {OA}}|$, угол $\varphi$ между вектором ${\overrightarrow {OA'}}$ и полярной осью и угол $\theta$ между векторами ${\overrightarrow {OA}}$ и $\mathbf {n}$.

Проекции

Пусть на плоскости дана прямая $l$ и прямая $l'$, непараллельная ей. Тогда через произвольную точку $A$ плоскости можно провести прямую $l'_{A}$, параллельную прямой $l'$. Она пересекает прямую $l$ в точке $A_{l}$, которую называют проекцией точки $A$ на прямую $l$ вдоль прямой $l'$. Если прямые $l$ и $l'$ перпендикулярны, то проекцию называют прямоугольной.

Аналогично, пусть в пространстве даны прямая $l$ и плоскость $\lambda '$, непараллельная ей. Тогда для любой точки $A$ пространства определены:

1. проекция $A_{l}$ на прямую $l$ вдоль плоскости $\lambda '$ — точка пересечения прямой $l$ с плоскостью $\lambda '_{A}$, проведенной через точку $A$ параллельно плоскости $\lambda '$;
2. проекция $A_{\lambda '}$ на плоскость $\lambda '$ вдоль прямой $l$ — точка пересечения плоскости $\lambda '$ с прямой $l_{A}$, проведенной через точку $A$ параллельно прямой $l$.

Если прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\lambda '$, то проекцию называют прямоугольной.

Пусть дан вектор $\mathbf {a}$. Отложим его от некоторой точки $O$, получится вектор $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OM}}$. Спроектируем начало и конец вектора на прямую $l$ вдоль прямой $l'$ (плоскости $\lambda '$), получим точки $O',M'$. Вектор $\mathbf {a} '={\overrightarrow {O'M'}}$ называется проекцией вектора $\mathbf {a}$ на прямую $l$ вдоль прямой $l'$ (плоскости $\lambda '$), обозначается $\mathbf {a} '=\mathrm {pr} _{l}^{l'}\mathbf {a}$.

Проверим корректность этого определения, то есть независимость вектора $\mathbf {a} '$ от выбора точки $O$.

Рассмотрим случай плоскости. Для этого спроектируем вектор ${\overrightarrow {OM}}$ на прямую $l'$. Получим вектор $\mathbf {a} ''={\overrightarrow {O'_{1}M'_{1}}}$. Ясно, что по построению ${\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {O'M'}}+{\overrightarrow {O'_{1}M'_{1}}}$ или

$\mathbf {a} =\mathbf {a} '+\mathbf {a} ''$.

Чтобы определение проекции не зависело от точки $O$ достаточно показать, что разложение вектора $\mathbf {>} a$ в виде суммы векторов, параллельных прямым $l$ и $l'$ единственно. Возьмем другое такое представление:

$\mathbf {a} =\mathbf {b} '+\mathbf {b} ''$

Тогда

$(\mathbf {a} '-\mathbf {b} ')+(\mathbf {a} ''-\mathbf {b} '')=0$

Значит векторы $\mathbf {a} '-\mathbf {b} '$ и $\mathbf {a} ''-\mathbf {b} ''$ линейно зависимы, а значит коллинеарны. С другой стороны, первый из этих векторов параллелен прямой $l$, а второй — прямой $l'$. Это возможно только тогда, когда оба эти вектора нулевые. Значит, разложение вектора на плоскости в виде суммы двух векторов, параллельных двум пересекающимся прямым, единственно.

Аналогично можно доказать, что в пространстве единственно разложение вектора в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен прямой, а второй — плоскости, пересекающейся с данной прямой.

Связь проекций с координатами

На плоскости

Рассмотрим базис $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$. Проекцией вектора $\mathbf {a}$ на вектор $\mathbf {e} _{1}$ параллельно вектору $\mathbf {e} _{2}$ называется вектор $\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{1}}^{\mathbf {e} _{2}}\mathbf {a} =\mathrm {pr} _{l_{1}}^{l_{2}}\mathbf {a}$, где прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ параллельны векторам $\mathbf {e} _{1}$ и $\mathbf {e} _{2}$ соответственно.

Можно записать

$\mathbf {a} =\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{1}}^{\mathbf {e} _{2}}\mathbf {a} +\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{2}}^{\mathbf {e} _{1}}\mathbf {a}$

С другой стороны, поскольку векторы $\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{1}}^{\mathbf {e} _{2}}a$ и $\mathbf {e} _{1}$ параллельны, то можно записать $\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{1}}^{\mathbf {e} _{2}}\mathbf {a} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}$. Число $\alpha _{1}$ называют алгебраическим значением проекции вектора $\mathbf {a}$ на вектор $\mathbf {e} _{1}$ параллельно вектору $\mathbf {e} _{2}$.

Получается, что

$\mathbf {a} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}$

Другими словами, координаты вектора $\mathbf {a}$ относительно базиса $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ — это алгебраические значения проекций вектора $\mathbf {a}$ на векторы $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$.

В пространстве

Рассмотрим базис $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$. Построим плоскости $\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3}$ такие, что

• $\pi _{1}$ параллельна векторам $\mathbf {e} _{2}$ и $\mathbf {e} _{3}$
• $\pi _{2}$ параллельна векторам $\mathbf {e} _{3}$ и $\mathbf {e} _{1}$
• $\pi _{3}$ параллельна векторам $\mathbf {e} _{1}$ и $\mathbf {e} _{2}$

Назовем эти плоскости базисными.

Рассмотрим разложение вектора $\mathbf {a}$ по векторам базиса

$\mathbf {a} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}$

Вектор $\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}$ параллелен вектору $\mathbf {e} _{1}$, а вектор $\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}$ параллелен плоскости $\pi _{1}$. Поэтому $\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}=\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{1}}^{\pi _{1}}\mathbf {a}$. Аналогично, $\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}=\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{2}}^{\pi _{2}}\mathbf {a}$ и $\alpha _{3}\mathbf {e} _{3}=\mathrm {pr} _{\mathbf {e} _{3}}^{\pi _{3}}\mathbf {a}$.

Таким образом, координаты вектора $\mathbf {a}$ относительно базиса $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ — это алгебраические значения проекций вектора $\mathbf {a}$ на базисные векторы параллельно базисным плоскостям.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть заданы две точки $A$ и $B$ своими аффинными координатами $(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $(b_{1},b_{2},b_{3})$ и отношение ${\tfrac {\lambda }{\mu }}$. Найдем аффинные координаты $(x_{1},x_{2},x_{3})$ такой точки $X$ отрезка $AB$, что ${\tfrac {|AX|}{|XB|}}={\tfrac {\lambda }{\mu }}$.

Поскольку ${\overrightarrow {AX}}={\overrightarrow {OX}}-{\overrightarrow {OA}}$ и ${\overrightarrow {XB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OX}}$, то координаты этих векторов равны $\{x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},x_{3}-a_{3}\}$ и $\{b_{1}-x_{1},b_{2}-x_{2},b_{3}-x_{3}\}$.

С другой стороны эти векторы сонаправлены и известно соотношение их модулей, поэтому

$\mu {\overrightarrow {AX}}=\lambda {\overrightarrow {XB}}$

Что эквивалентно следующим трем уравнениям

$\mu (x_{i}-a_{i})=\lambda (b_{i}-x_{i})\qquad i=1,2,3$

Их решение

$x_{i}={\frac {\mu a_{i}+\lambda b_{i}}{\lambda +\mu }}$

См. также

Задачи