Системы координат

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Базис[править]

Базисом в пространстве (на плоскости) называется тройка (пара) линейно независимых векторов.


Теорема

Всякий вектор пространства (плоскости) однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов соответствующего базиса.



Координаты[править]

Координатами вектора относительно базиса называются такие числа , что .


Теорема

Координаты суммы векторов равны сумме координат. Координаты равны (в обозначениях предыдущего абзаца).



Координатами точки называется набор чисел, однозначно определяющий эту точку. На плоскости для однозначного задания точки достаточно двух чисел, в пространстве — трех. Под системой координат понимают правило, ставящее в соответствие каждой точке пространства определенный набор координат.

Выделяют следующие важные системы координат:

  • Аффинная. Если в пространстве выбран репер (произвольная точка и базис ), то говорят, что задана аффинная система координат. Координатами точки относительно этой системы координат называются координаты вектора относительно базиса .
    • Прямоугольная (ортогональная). Аффинную систему координат называют ортогональной, если векторы базиса перпендикулярны друг другу.
    • Ортонормированная. Аффинную систему координат называют ортонормированной, если система ортогональна и длины векторов равны единице.
На плоскости аффинная система координат задается аналогично, только базис является двухэлементным.
Цилиндрическая система координат
Сферическая система координат
  • Полярная. Полярная система координат на плоскости задается точкой, называемой полюсом, и исходящем из полюса лучом, называемым полярной осью. Координатами точки называются длина вектора и угол между полярной осью и вектором . Расстояние называют радиусом, а угол полярным углом. У полюса , а не определен. У остальных точек полярный угол определен с точностью до слагаемого кратного . Это значит, что пары чисел и , где — любое целое число, представляют координаты одной и той же точки. В пространстве полярная система обобщается двумя способами. В обоих случаях дополнительно задается единичный вектор , перпендикулярный полярной оси. Рассматривается точка — проекция точки на плоскость , проведенную через точку перпендикулярно вектору .
    • Цилиндрическая. В качестве координат точки рассматривают полярные координаты вектора на плоскости и длину вектора .
    • Сферическая. Координатами точки называются длина вектора , угол между вектором и полярной осью и угол между векторами и .

Проекции[править]

Пусть на плоскости дана прямая и прямая , непараллельная ей. Тогда через произвольную точку плоскости можно провести прямую , параллельную прямой . Она пересекает прямую в точке , которую называют проекцией точки на прямую вдоль прямой . Если прямые и перпендикулярны, то проекцию называют прямоугольной.

Аналогично, пусть в пространстве даны прямая и плоскость , непараллельная ей. Тогда для любой точки пространства определены:

  1. проекция на прямую вдоль плоскости — точка пересечения прямой с плоскостью , проведенной через точку параллельно плоскости ;
  2. проекция на плоскость вдоль прямой — точка пересечения плоскости с прямой , проведенной через точку параллельно прямой .

Если прямая перпендикулярна плоскости , то проекцию называют прямоугольной.

Пусть дан вектор . Отложим его от некоторой точки , получится вектор . Спроектируем начало и конец вектора на прямую вдоль прямой (плоскости ), получим точки . Вектор называется проекцией вектора на прямую вдоль прямой (плоскости ), обозначается .

Проверим корректность этого определения, то есть независимость вектора от выбора точки .

Рассмотрим случай плоскости. Для этого спроектируем вектор на прямую . Получим вектор . Ясно, что по построению или

.

Чтобы определение проекции не зависело от точки достаточно показать, что разложение вектора в виде суммы векторов, параллельных прямым и единственно. Возьмем другое такое представление:

Тогда

Значит векторы и линейно зависимы, а значит коллинеарны. С другой стороны, первый из этих векторов параллелен прямой , а второй — прямой . Это возможно только тогда, когда оба эти вектора нулевые. Значит, разложение вектора на плоскости в виде суммы двух векторов, параллельных двум пересекающимся прямым, единственно.

Аналогично можно доказать, что в пространстве единственно разложение вектора в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен прямой, а второй — плоскости, пересекающейся с данной прямой.

Связь проекций с координатами[править]

На плоскости

Рассмотрим базис . Проекцией вектора на вектор параллельно вектору называется вектор , где прямые и параллельны векторам и соответственно.

Можно записать

С другой стороны, поскольку векторы и параллельны, то можно записать . Число называют алгебраическим значением проекции вектора на вектор параллельно вектору .

Получается, что

Другими словами, координаты вектора относительно базиса — это алгебраические значения проекций вектора на векторы .

В пространстве

Рассмотрим базис . Построим плоскости такие, что

  • параллельна векторам и
  • параллельна векторам и
  • параллельна векторам и

Назовем эти плоскости базисными.

Рассмотрим разложение вектора по векторам базиса

Вектор параллелен вектору , а вектор параллелен плоскости . Поэтому . Аналогично, и .

Таким образом, координаты вектора относительно базиса — это алгебраические значения проекций вектора на базисные векторы параллельно базисным плоскостям.

Деление отрезка в данном отношении[править]

Пусть заданы две точки и своими аффинными координатами и и отношение . Найдем аффинные координаты такой точки отрезка , что .

Поскольку и , то координаты этих векторов равны и .

С другой стороны эти векторы сонаправлены и известно соотношение их модулей, поэтому

Что эквивалентно следующим трем уравнениям

Их решение

См. также[править]

Задачи