Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нормальные системы ЛДУ первого порядка[править]

где, - известные функции - искомые

- начальные условия.

Совокупность системы и начальных условий - задача Коши. В векторной форме:

Из теории общей теории нормальных систем следует, что задача Коши имеет единственное решение на всем интервале . Решение нельзя продолжить.

Однородные системы ЛДУ. Определитель Вронского[править]

Определение. Определитель Вронского системы вектор-функций называется определитель


Теорема. Пусть - решение однородной системы. Тогда тоже является решением системы.
Доказательство. . вектор-функция является решением системы


Теорема. Если система линейно зависима, то на .
Доказательство. - фиксируем не все равные нулю и такие что: на . Следовательно в точке в силу линейной зависимости системы. Так как - любое на


Теорема. Пусть - система решений однородной системы ЛДУ. Если хотя бы в одной точке , то система линейно зависима и на
Доказательство. столбцы линейно зависимы,

то есть система - линейно зависима, то есть существуют константы не все равные нулю и такие что . Рассмотрим при произвольном . В силу теоремы 1 является решением системы ; - решение системы, значит система вектор-функций линейно зависима, а следовательно по теореме 2 на .


Фундаментальные системы решений. Общее решение однородной системы[править]

Определение. Линейнонезависимая система состоит из решений однородной системы ЛДУ называется её фундаментальной системой решений (ФСР).


Теорема. ФСР существует
Доказательство. Фиксируем точку и некоторый базис в пространстве . Определим как решение задачи Коши

. Система линейно независима является ФСР.


Теорема. Пусть есть ФСР однородной системы ЛДУ, тогда всякое решение y(x) системы имеет вид:

- формула общего решения, где - постоянные

Общее решение неоднородного уравнения[править]

Пусть - заданная ФСР однородного уравнения

. Тогда всякое решение неоднородного уравнения имеет вид , где - некоторое частное решение неоднородного уравнения .