Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Нормальные системы ЛДУ первого порядка

$\{\begin{array}{c}{y}_{1^{\prime }}(x)=\sum _{j=1}^m{a}_{1j}(x)y_j(x)+f_1(x)\\ y_{2^{\prime }}(x)=\sum _{j=1}^m{a}_{2j}(x)y_j(x)+f_2(x)\\ \dots \\ y_{m^{\prime }}(x)=\sum _{j=1}^m{a}_{mj}(x)y_j(x)+f_m(x)\end{array}$ где, $a_{ij}\in C(a,b)f_i\in C(a,b)$ - известные функции $y_i$ - искомые

$y_1(x_0)=y_{1(0)},y_2(x_0)=y_{2(0)},\dots ,t_m(x_0)=y_{m(0)}$ - начальные условия.

Совокупность системы и начальных условий - задача Коши. В векторной форме: $\overrightarrow{y^{\prime }}(x)=A(x)\cdot \overrightarrow{y}+\overrightarrow{f},\overrightarrow{y}(x_0)=\overrightarrow{y_0}$

Из теории общей теории нормальных систем следует, что задача Коши имеет единственное решение на всем интервале $(a,b)$. Решение нельзя продолжить.

Однородные системы ЛДУ. Определитель Вронского

Определение. Определитель Вронского системы вектор-функций называется определитель $W(x)=detY(x)$

$Y(x)=\left(\begin{array}{ccccc}& \overline{y_1}(x)& \overline{y_2}(x)& & \overline{y_m}(x)\\ & y_{11}(x)& y_{12}(x)& \dots & y_{1m}(x)\\ & y_{21}(x)& y_{22}(x)& \dots & y_{2m}(x)\\ & \dots & \dots & \dots & \dots \\ & y_{m1}(x)& y_{m2}(x)& \dots & y_{mm}(x)\end{array}\right)$

Теорема. Пусть ${\bar{y}}_1(x),\dots ,{\bar{y}}_m(x)$ - решение однородной системы. Тогда $\bar{f}(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i{\bar{y}}_1(x)$ тоже является решением системы.

Доказательство. ${\bar{f}}^{\prime }(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i\bar{y}{\text{'}}_i(x)=\sum _{i=1}^n{c}_{i}A{\bar{y}}_i(x)=A\sum _{i=1}^n{c}_i{\bar{y}}_i(x)=A\bar{y}$. ${\bar{f}}^{\prime }(x)=A\bar{y}\Rightarrow$ вектор-функция $\bar{y}$ является решением системы

Теорема. Если система ${\bar{y}}_1(x),\dots ,{\bar{y}}_m(x)$ линейно зависима, то $W(x)\equiv 0$ на $(a,b)$.

Доказательство. $x_0\in (a,b)$ - фиксируем $\Rightarrow \mathrm{\exists }{c}_1\dots c_n$ не все равные нулю и такие что: $c_1{\bar{y}}_1(x)+\dots +c_n{\bar{y}}_n(x)=0$ на $(a,b)$. Следовательно в точке $x_0:c_1{\bar{y}}_1(x_0)+\dots +c_n{\bar{y}}_n(x_0)=0\Rightarrow W=0$ в силу линейной зависимости системы. Так как $x$ - любое $\Rightarrow W\equiv 0$ на $(a,b)$

Теорема. Пусть ${\bar{y}}_1(x),\dots ,{\bar{y}}_m(x)$ - система решений однородной системы ЛДУ. Если $W(x)=0$ хотя бы в одной точке $x_0\in (a,b)$, то система ${\bar{y}}_1(x),\dots ,{\bar{y}}_m(x)$ линейно зависима и $W(x)\equiv 0$ на $(a,b)$

Доказательство. $W(x_0)=0\Rightarrow$ столбцы линейно зависимы,

то есть система ${\bar{y}}_1(x_0)\dots {\bar{y}}_m(x_0)$ - линейно зависима, то есть существуют константы не все равные нулю и такие что $c_1^o{\bar{y}}_1(x_0)+\dots +c_m^o{\bar{y}}_m(x_0)=\bar{0}$. Рассмотрим $\bar{y}(x)$ при произвольном $x:\bar{y}(x)=\sum _{k=1}^m{c}_k^o{\bar{y}}_k(x)$. В силу теоремы 1 $\bar{y}(x)$ является решением системы ${\bar{y}}^{\prime }=A\bar{y}$; $\bar{y}(x_0)=\bar{0}\Rightarrow \bar{y}\equiv \bar{0}$ - решение системы, значит система вектор-функций линейно зависима, а следовательно по теореме 2 $W\equiv 0$ на $(a,b)$.

Фундаментальные системы решений. Общее решение однородной системы

Определение. Линейнонезависимая система ${\bar{y}}_1(x),{\bar{y}}_2(x),\dots ,{\bar{y}}_m(x)$ состоит из решений однородной системы ЛДУ называется её фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема. ФСР существует

Доказательство. Фиксируем точку $x_0\in (a,b)$ и некоторый базис ${\bar{e}}_1,{\bar{e}}_2,\dots ,{\bar{e}}_m$ в пространстве $R^m$. Определим ${\bar{y}}_j(x)$ как решение задачи Коши

$\{\begin{array}{c}{\bar{y}}^n=A(x)\bar{y}\\ \bar{y}(x_0)=e_j,j=1,\dots ,m\end{array}$

$W(x_0)=det({\bar{e}}_1|{\bar{e}}_2|\dots |{\bar{e}}_m)$. Система ${\bar{y}}_1(x),{\bar{y}}_2(x),\dots ,{\bar{y}}_m(x)$ линейно независима $\Rightarrow$ является ФСР.

Теорема. Пусть ${\bar{y}}_1(x),{\bar{y}}_2(x),\dots ,{\bar{y}}_m(x)$ есть ФСР однородной системы ЛДУ, тогда всякое решение y(x) системы имеет вид:

$y(x)=\sum _{j=1}^m{c}_j{\bar{y}}_j(x)$ - формула общего решения, где $c_1,c_2,\dots ,c_n$ - постоянные

Общее решение неоднородного уравнения

Пусть ${\bar{u}}_1(x),{\bar{u}}_2(x),\dots ,{\bar{u}}_m(x)$ - заданная ФСР однородного уравнения

$L_m[u]=0$. Тогда всякое решение неоднородного уравнения $L_m[u]=f$ имеет вид $u(x)=u_0(x)+\sum _{k=1}^m{c}_k{u}_k(x)$, где $u_0(x)$ - некоторое частное решение неоднородного уравнения $L_m[u]=f$.