Скалярное произведение векторов

Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Определение

Пусть $𝐚$ и $𝐛$ — два ненулевых вектора. Если отложить их от одной точки $O$ , получится угол между этими векторами (точнее между несущими их полупрямыми, исходящими из точки $O$ ). Этот угол обозначают $\hat{𝐚, 𝐛}$ .

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$𝐚 \cdot 𝐛 = (𝐚, 𝐛) = | 𝐚 | | 𝐛 | \cos (\hat{𝐚, 𝐛})$

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и произведение считают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

Коммутативность: $𝐚 \cdot 𝐛 = 𝐛 \cdot 𝐚$
Линейность по первому аргументу: $(𝐚_{1} + 𝐚_{2}) \cdot 𝐛 = 𝐚_{1} \cdot 𝐛 + 𝐚_{2} \cdot 𝐛$ и $(α 𝐚) \cdot 𝐛 = α (𝐚 \cdot 𝐛)$
Положительная определенность: $𝐚 \cdot 𝐚 = | 𝐚 |^{2} \geq 0$ , причем $𝐚 \cdot 𝐚 = 0$ тогда и только тогда, когда $𝐚 = 𝟎$

Геометрический смысл скалярного произведения

Связь с проекциями

Алгебраическое значение проекции вектора $𝐚$ на вектор $𝐛$ вдоль прямой, перпендикулярной $𝐛$ , очевидно, равно

| {p r}_{𝐛} 𝐚 | = | 𝐚 | \cos (\hat{𝐚, 𝐛})

Аналогично

| {p r}_{𝐚} 𝐛 | = | 𝐛 | \cos (\hat{𝐚, 𝐛})

Таким образом, скалярное произведение

𝐚 \cdot 𝐛 = | 𝐚 | | {p r}_{𝐚} 𝐛 | = | 𝐛 | | {p r}_{𝐛} 𝐚 |

Связь с длинами

Рассмотрим скалярное произведение вектора на самого себя.

𝐚 \cdot 𝐚 = | 𝐚 | | 𝐚 | \cos (\hat{𝐚, 𝐚}) = | 𝐚 |^{2}

Связь с углами

Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов. Поскольку их длины равны 1, то

𝐚 \cdot 𝐛 = | 𝐚 | | 𝐛 | \cos (\hat{𝐚, 𝐛}) = \cos (\hat{𝐚, 𝐛})

Скалярное произведение в ортонормированной системе координат

Пусть заданы координаты двух векторов $𝐚 = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ и $𝐛 = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ в ортонормированной системе координат.

\begin{matrix} 𝐚 \cdot 𝐛 & = (a_{1} 𝐞_{1} + a_{2} 𝐞_{2} + a_{3} 𝐞_{3}) \cdot (b_{1} 𝐞_{1} + b_{2} 𝐞_{2} + b_{3} 𝐞_{3}) = \\ = a_{1} b_{1} 𝐞_{1} \cdot 𝐞_{1} + a_{2} b_{2} 𝐞_{2} \cdot 𝐞_{2} + a_{3} b_{3} 𝐞_{3} \cdot 𝐞_{3} + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) 𝐞_{1} \cdot 𝐞_{2} + (a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1}) 𝐞_{1} \cdot 𝐞_{3} + (a_{2} b_{3} + a_{3} b_{2}) 𝐞_{2} \cdot 𝐞_{3} \end{matrix}

В ортонормированной системе координат $𝐞_{1} \cdot 𝐞_{1} = 𝐞_{2} \cdot 𝐞_{2} = 𝐞_{3} \cdot 𝐞_{3} = 1$ и $𝐞_{1} \cdot 𝐞_{2} = 𝐞_{1} \cdot 𝐞_{3} = 𝐞_{2} \cdot 𝐞_{3} = 0$ , так как $\cos 0 = 1, \cos \frac{π}{2} = 0$ . Поэтому

𝐚 \cdot 𝐛 = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Аксиоматический подход

При аксиоматическом подходе скалярное произведение определяется как некоторая функция, аргументы которой — два вектора, результат — число, не зависящее от системы координат, обладающее свойствами:

Коммутативность
Линейность по первому аргументу
Положительная определенность

Тогда производными понятиями становятся

Длина вектора — число, вычисляемое по правилу $| 𝐚 | = \sqrt{𝐚 \cdot 𝐚}$
Угол между ненулевыми векторами — число, косинус которого $\cos (\hat{𝐚, 𝐛}) = \frac{𝐚 \cdot 𝐛}{| 𝐚 | | 𝐛 |}$
Ортогональные (перпендикулярные) векторы — векторы, скалярное произведение которых равно 0.

См. также

Задачи