Смешанное произведение

Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Смешанное произведение

Определение

Смешанным произведением трех векторов $𝐚$ , $𝐛$ и $𝐜$ называется число $𝐚 𝐛 𝐜 = (𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜$ .

Свойства векторного произведения

Векторы $𝐚$ , $𝐛$ и $𝐜$ компланарны тогда и только тогда, когда $𝐚 𝐛 𝐜 = 0$ .
Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Кососимметричность по любой паре аргументов: $𝐚 𝐛 𝐜 = 𝐛 𝐜 𝐚 = 𝐜 𝐚 𝐛 = - 𝐛 𝐚 𝐜 = - 𝐜 𝐛 𝐚 = - 𝐚 𝐜 𝐛$
$(𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜 = 𝐚 𝐛 𝐜 = 𝐛 𝐜 𝐚 = (𝐛 \times 𝐜) \cdot 𝐚 = 𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜)$
Линейность по каждому аргументу:
$(𝐚_{1} + 𝐚_{2}) 𝐛 𝐜 = 𝐚_{1} 𝐛 𝐜 + 𝐚_{2} 𝐛 𝐜 (k 𝐚) 𝐛 𝐜 = k (𝐚 𝐛 𝐜)$

$𝐚 (𝐛_{1} + 𝐛_{2}) 𝐜 = 𝐚 𝐛_{1} 𝐜 + 𝐚 𝐛_{2} 𝐜 𝐚 (k 𝐛) 𝐜 = k (𝐚 𝐛 𝐜)$

$𝐚 𝐛 (𝐜_{1} + 𝐜_{2}) = 𝐚 𝐛 𝐜_{1} + 𝐚 𝐛 𝐜_{2} 𝐚 𝐛 (k 𝐜) = k (𝐚 𝐛 𝐜)$

Смешанное произведение в ортонормированной системе координат

Пусть заданы координаты трех векторов $𝐚 = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ , $𝐛 = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ и $𝐜 = {c_{1}, c_{2}, c_{3}}$ в ортонормированной системе координат.

\begin{matrix} 𝐚 𝐛 𝐜 & = (𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜 = ((a_{1} 𝐞_{1} + a_{2} 𝐞_{2} + a_{3} 𝐞_{3}) \times (b_{1} 𝐞_{1} + b_{2} 𝐞_{2} + b_{3} 𝐞_{3})) \cdot (c_{1} 𝐞_{1} + c_{2} 𝐞_{2} + c_{3} 𝐞_{3}) = \\ = (| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | 𝐞_{1} - | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | 𝐞_{2} + | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | 𝐞_{3}) \cdot (c_{1} 𝐞_{1} + c_{2} 𝐞_{2} + c_{3} 𝐞_{3}) = \\ = | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | c_{1} - | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | c_{2} + | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | c_{3} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} | \end{matrix}

Таким образом, в ортонормированной системе координат смешанное произведение записывается в виде

𝐚 𝐛 𝐜 = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} |