Спектральная теория

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Спектр линейного оператора и его свойства[править]

Оператор , где - банахово пространство (комплексное) Рассмотрим , , - параметр.

Определение. Число называется регулярной точкой(значением)

оператора , если

  1. - резольвента, обозначается
  2. - ограниченный оператор


Множество всех регулярных значений обозначается и называется резольвентным множеством.

- называется спектром оператора и обозначается

;

Решение для , решение единственное, непрерывно зависит от данных

Замечание. Если оператор , то является регулярным значением


Определение. Число называется собственным значением оператора , если . называется собственным вектором, соответствующим собственному значению


- собственное подпространство отвечающее собственным значениям

если - собственное значение, то

Определение. Множество всех собственных значений оператора называется точечным спектром, (точечный спектр) называется непрерывным спектром.


Теорема. Пусть оператор . Если , то . (то же самое, что сказать: )
Доказательство. Рассмотрим уравнение

решение представимо рядом Неймана: выполнены все три свойства из определения регулярной точки. Оценим:


Теорема. - открытое множество ( - замкнутое)
Доказательство. Пусть

если , то точка входит со своей окрестностью - открытое множество


Теорема. Справедливо тождество Гильберта:

Доказательство. ; применим к обеим частям:

; применим справа:


Теорема. Для всякого линейного непрерывного оператора , действующего в нетривиальном комплексном банаховом пространстве, его спектр не пуст.
Доказательство. Предположим, что ,

Рассмотрим: - аналитическая функция комплексного переменного заданная на

.

по теореме Лиувиля: , причем

- противоречие