Спектральная теория

Спектр линейного оператора и его свойства

Оператор $A:X\to X$, где $X$ - банахово пространство (комплексное) Рассмотрим $A-\lambda I$, $\lambda \in ℂ$, $\lambda$ - параметр.

Определение. Число $\lambda \in ℂ$ называется регулярной точкой(значением)

оператора $A$, если

1. $Im(A-\lambda I)=X$
2. $\mathrm{\exists }(A-\lambda I{)}^{-1}$ - резольвента, обозначается $R_{\lambda }$
3. $R_{\lambda }$ - ограниченный оператор

Множество всех регулярных значений обозначается $\rho (A)$ и называется резольвентным множеством.

$ℂ\setminus \rho (A)$ - называется спектром оператора $A$ и обозначается $𝐒𝐩(A)$

$(A-\lambda I)x=y$; $\lambda \in \rho (A)\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $\{$Решение $\mathrm{\exists }$ для $\mathrm{\forall }y$, решение единственное, непрерывно зависит от данных $\}$

Замечание. Если оператор $A\in L(X)$, то $\lambda$ является регулярным значением

$\iff \left\{\begin{array}{c}1)Im(A-\lambda I)=X,\\ 2)Ker(A-\lambda I)=0\end{array}\right\}$

Определение. Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $A$, если $\mathrm{\exists }x\ne 0:Ax=\lambda x$. $x$ называется собственным вектором, соответствующим собственному значению $\lambda$

$X_{\lambda }$ - собственное подпространство отвечающее собственным значениям $\lambda$

$\{x\in X_{\lambda }|Ax=\lambda x\}\cup \{0\}$

$(A-\lambda I)x=0\Rightarrow$ если $\lambda$ - собственное значение, то $\lambda \in 𝐒𝐩(A)$

Определение. Множество всех собственных значений оператора $A$ называется точечным спектром, $𝐒𝐩(A)\setminus$ (точечный спектр) называется непрерывным спектром.

Теорема. Пусть оператор $A\in L(X)$. Если $|\lambda |>\Vert A\Vert$, то $\lambda \in \rho (A)$. (то же самое, что сказать: $𝐒𝐩(A)\in \{|\lambda |\le \Vert A\Vert \}$)

Доказательство. Рассмотрим уравнение $(A-\lambda I)x=y,|\lambda |>\Vert A\Vert$

$(I-\frac{1}{\lambda }A)x=\frac{y}{-\lambda }\Rightarrow$ решение представимо рядом Неймана: $x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\lambda }^k}{A}^k\frac{y}{-\lambda }\Rightarrow R_{\lambda }=-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\lambda }^{k+1}}{A}^k\Rightarrow$ выполнены все три свойства из определения регулярной точки. Оценим: $\Vert R_{\lambda }\Vert \le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\Vert A{\Vert }^k}{|\lambda {|}^{k+1}}=\frac{1}{|\lambda |}\cdot \frac{1}{1-\frac{\Vert A\Vert }{|\lambda |}}=\frac{1}{|\lambda |-\Vert A\Vert }$

$|R_{\lambda }|\le \frac{1}{|\lambda |-\Vert A\Vert }$

Теорема. $\rho (A)$ - открытое множество ($𝐒𝐩(A)$ - замкнутое)

Доказательство. Пусть $\lambda \in \rho (A)$

$(A-(\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda )I)x=y\iff (A-\lambda I)x=\mathrm{\Delta }\lambda x+y\iff x=\mathrm{\Delta }\lambda R_{\lambda }x+R_{\lambda }y\Rightarrow$ если $|\mathrm{\Delta }\lambda |\Vert R_{\lambda }\Vert <1$, то $\mathrm{\exists }(A-(\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda )I{)}^{-1}\in L(X)\Rightarrow |\mathrm{\Delta }\lambda |<\mu =\frac{1}{\Vert R_{\lambda }\Vert }\Rightarrow \lambda +\mathrm{\Delta }\lambda \in \rho (A)\Rightarrow \mathrm{\forall }$ точка входит со своей окрестностью $\Rightarrow \rho (A)$ - открытое множество

Теорема. Справедливо тождество Гильберта:

$R_{\mu }-R_{\lambda }=(\mu -\lambda )R_{\mu }{R}_{\lambda },\mathrm{\forall }\mu ,\lambda \in \rho (A)$

Доказательство. $(\mu -\lambda )I=(\mu -\lambda )I$; $(A-\lambda I)-(A-\mu I)=(\mu -\lambda )I$ применим $R_{\lambda }$ к обеим частям:

$I-R_{\lambda }(A-\mu I)=(\mu -\lambda )R_{\lambda }$; применим $R_{\mu }$ справа:

$R_{\mu }-R_{\lambda }(A-\mu I)R_{\mu }=(\mu -\lambda )R_{\lambda }{R}_{\mu }$

$R_{\mu }-R_{\lambda }=(\mu -\lambda )R_{\lambda }{R}_{\mu }=(\mu -\lambda )R_{\mu }{R}_{\lambda }$

Теорема. Для всякого линейного непрерывного оператора $A=L(X)$, действующего в нетривиальном комплексном банаховом пространстве, его спектр не пуст.

Доказательство. Предположим, что $\rho (A)=ℂ$, $\mathrm{\forall }\lambda \mathrm{\exists }{R}_{\lambda }\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }y\in X^{\ast }$

Рассмотрим: $\underset{\mathrm{\Delta }\lambda \to 0}{lim}\frac{f(\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda )-f(\lambda )}{\mathrm{\Delta }\lambda }=\underset{\mathrm{\Delta }\lambda \to 0}{lim}⟨y,\frac{R_{\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda }-R_{\lambda }}{\mathrm{\Delta }\lambda }x⟩=⟨y,R_{\lambda }^{2}x⟩\Rightarrow f(\lambda )$ - аналитическая функция комплексного переменного заданная на $ℂ$

$|f(\lambda )|\le \Vert y{\Vert }_{X^{\ast }}$. $\Vert R_{\lambda }\Vert \Vert x{\Vert }_{X^{\ast }}\le \frac{1}{|\lambda |-\Vert A\Vert }\Vert y{\Vert }_{X^{\ast }}\Vert x{\Vert }_X,\mathrm{\forall }\lambda >\Vert A\Vert \Rightarrow$

$\Rightarrow$ по теореме Лиувиля: $f(\lambda )\equiv const$, причем $const=0$

$f(\lambda )=⟨y,R_{\lambda }x⟩=0\mathrm{\forall }y\in X^{\ast },\mathrm{\forall }x\in X\Rightarrow R_{\lambda }x=0,\mathrm{\forall }x\in X\Rightarrow R_{\lambda }=0$ - противоречие $\Rightarrow \rho (A)\ne ℂ$