Сходимость знакоположительных рядов

Определение. Числовой ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ называется знакоположительным, если $x_k\ge 0$ для любого $k$.

Ограниченность частных сумм

Теорема.

Знакоположительный числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность $S_n$ ограничена.

Доказательство.

Если ряд сходится, то последовательность ограничена как сходящаяся подпоследовательность. Обратно, $S_{n+1}-S_n=x_{n+1}\ge 0$, поэтому последовательность $S_n$ не убывает. Тогда ее сходимость следует из ограниченности по теореме Вейерштрасса.

Оценочный признак

Теорема (первый признак сравнения).  Даны числовые ряды $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ и $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$, где $0\le a_n\le b_n,\mathrm{\forall }n$

Тогда:

1. Если ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ - сходится, то $n$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится.
2. Если ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ - расходится, то и ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ расходится.

Теорема (второй признак сравнения).  Даны числовые ряды $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$, $a_n\ge 0,b_n>0,\mathrm{\forall }n$

Пусть $\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=L>0$, тогда ряды сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера

Теорема (признак Даламбера).  Дан ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,a_n>0\mathrm{\forall }n$. Пусть $\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda$, тогда

1. Если $\lambda <1$ - ряд сходится
2. Если $\lambda >1$ - ряд расходится

Доказательство.

1. Пусть $0\le \lambda <1$, тогда $\mathrm{\exists }q:\lambda <q<1$

$\mathrm{\exists }lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda \Rightarrow$ для $\epsilon =q-\lambda >0$ $\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n>N|\frac{a_{n+1}}{a_n}-\lambda |<\epsilon \Rightarrow$

$\Rightarrow -(q-\lambda )<\frac{a_{n+1}}{a_n}-\lambda <q-\lambda$; $\frac{a_{n+1}}{a_n}<q\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow$

$\Rightarrow a_{n+1}<q{a}_n,\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow a_{N+2}<q{a}_{N+1},a_{N+3}<q{a}_{N+2}<q^2{a}_{N+1}\mathrm{....}$

$a_{n+k}<q^{k-1}{a}_{N+1}\mathrm{\forall }k\ge 2$

Ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k-1}$ - сходится, так как $|q|<1\Rightarrow$ ряд $\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k-1}$ - сходится $\Rightarrow$ по I признаку сравнения ряд $\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_{N+k}$ - сходится $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ - сходится.

2. Пусть $\lambda >1$. Пусть $\epsilon >0:\lambda -\epsilon >1$

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda \Rightarrow$ для $\epsilon >0N:\mathrm{\forall }n>N|\frac{a_{n+1}}{a_n}-\lambda |<\epsilon$

$\lambda -\epsilon <\frac{a_{n+1}}{a_n}<\lambda +\epsilon \mathrm{\forall }n>N$; $\frac{a_{n+1}}{a_n}>\lambda -\epsilon >1,\mathrm{\forall }n>N$

$\Rightarrow a_{n+1}>a_n\mathrm{\forall }n>N$; $0<a_{N+1}<a_{N+2}<\mathrm{...}$

$\Rightarrow a_n>a_{N=1}>0,\mathrm{\forall }n\ge N+2\Rightarrow$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ge a_{N+1}>0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0\Rightarrow$ не выполнен необходимый признак сходимости $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ расходится.

Признак Коши

Теорема. Дан ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, $a_n\ge 0,\mathrm{\forall }n$. Пусть $\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\lambda$

тогда:

1. Если $\lambda <1$ ряд сходится;
2. Если $\lambda >1$ ряд расходится.

Доказательство. Заметим, что $\lambda \ge 0$

1. Пусть $0\le N\le 1$, тогда $\mathrm{\exists }q:\lambda <q<1$

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\lambda \Rightarrow$ для $\epsilon =q-\lambda >0\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n>N$

$|\sqrt[n]{a_n}-\lambda |<q-\lambda \Rightarrow -(q-\lambda )<\sqrt[n]{a_n}-\lambda <q-\lambda ,\mathrm{\forall }n>N$

$\sqrt[n]{a_n}<q$, $\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow a_n<q^n,\mathrm{\forall }n>N$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$ - сходится $\Rightarrow$ по первому признаку сравнения $\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ - сходится $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ - сходится.

2. $\lambda >1$. Рассмотрим $\epsilon >0:\lambda -\epsilon >1$

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\lambda \Rightarrow$ для данного $\epsilon >0:\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n>N$

$|\sqrt[n]{a_n}-\lambda |<\epsilon \Rightarrow \sqrt[n]{a_n}>\lambda -\epsilon >1\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow a_n>1\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ge 1\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0\Rightarrow$ не выполнен необходимый признак сходимости $\Rightarrow$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ расходится.

Интегральный признак

Теорема. Пусть функция $f(x)$ определена на $[1,+\mathrm{\infty })$, неотрицательна на $[1,+\mathrm{\infty })$ и $f(x)$ монотонно не возрастает на $[1,+\mathrm{\infty })$.

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ и интеграл ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.