Сходимость числовых рядов

Определение. Частной суммой числового ряда $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ называется сумма $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}$. Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел $S=\lim _{n\to \infty }S_{n}$, при этом $S$ называется суммой ряда.

Критерий Коши сходимости числового ряда

Теорема.

Числовой ряд $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существует такое $N(\varepsilon )$, что для всех $m>n>N(\varepsilon )$

$\left|\sum _{k=n}^{m}x_{k}\right|<\varepsilon$

Доказательство.

Заметим, что $\sum _{k=n}^{m}x_{k}=S_{m}-S_{n-1}$. После этого утверждение превращается в критерий Коши сходимости последовательности $S_{n}$.

Необходимое условие сходимости

Теорема.

Если ряд $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ сходится, то $\lim _{n\to \infty }x_{n}=0$.

Доказательство.

Из свойств пределов следует, что $\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n-1}$. Отсюда следует, что $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})=0$.