Теория устойчивости

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.[править]

Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости[править]

Рассмотрим задачу Коши:

Её решение единственно и определено . Пусть - решение задачи с возмущенным начальным значением:

Определение. Решение задачи Коши называется устойчивым по Ляпунову, если


Определение. Решение задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что и при


Точки покоя[править]

Заметим, что погрешность является решением задачи Коши где

Невозмущенному решению соответствует точка покоя системы:

Определение. Точка покоя называется устойчивой по Ляпунову, если для любого и для всякого решения


Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами[править]

Исследуется устойчивость точки покоя однородной системы:

Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда для всех собственных значений матрицы A.

В матричной форме:

, - матрица с постоянными коэффициентами.

Теорема. Точка покоя системы была устойчива по Ляпунову и отвечали жордановым клеткам размера
Доказательство. В формуле запишем в виде

,

Пусть и если , то

, если

Если , то ;

Пусть точка покоя устойчива по Ляпунову. Докажем, что тогда и

Предположим противное, то есть а) для некоторого s либо б)

а) решение системы

Решение не устойчиво по Ляпунову наше предположение неверно и

б)

- решение задачи

предположение неверно. Теорема доказана.


Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда для всех собственных значений матрицы A.

Простейшие типы точек покоя[править]

"устойчивый узел"
  • и вещественны и различны:
  • . "устойчивый узел"
  • "неустойчивый узел"
    неустойчивый узел
  • "седло"
    седло
  • - точка покоя устойчивая
    точка покоя устойчивая
  • - точка покоя неустойчива
    точка покоя неустойчива
  • и комплексны и различны:
  • "устойчивый фокус"
    устойчивый фокус
  • "неустойчивый фокус"
    неустойчивый фокус
  • "центр" - устойчивая точка покоя
    устойчивая точка покоя
  • - вещественны и есть 2 линейно независимых вектора:
  • "устойчивый звездный узел"
    устойчивый звездный узел
  • "неустойчивый звездный узел"
    неустойчивый звездный узел
  • покой -
    неустойчивая точка покоя
  • - вещественны и есть только 1 линейно независимый вектор:
  • "устойчивый вырожденный узел"
    устойчивый вырожденный узел
  • "неустойчивый вырожденный узел"
    неустойчивый вырожденный узел
  • - неизолированная неустойчивая точка покоя
    неизолированная неустойчивая точка покоя

Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.[править]

Исследование на устойчивость по первому приближению[править]

. . Первое слагаемое равно нулю, второе является первым дифференциалом, каждое слагаемое равно . Третье слагаемое есть

Следовательно (1) можно преобразовать к виду . Тогда является системой уравнений первого приближения. Система (1) стационарна в первом приближении не зависит от .

при

Теорема. Пусть система ДУ (1) стационарна в первом приближении и пусть выполнено предположение (3). Тогда

1) Если все собственные значения матрицы удовлетворяют условию , то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

2) Если существуют собственные значения такие что , то точка покоя неустойчива.

Второй метод Ляпунова[править]

Определение. Функция называется функцией Ляпунова системы , если обладает следующими свойствами:
  1. - шар,
  2. и


Теорема. Если у системы есть функция Ляпунова, то точка покоя устойчива по Ляпунову.
Доказательство. Пусть существует функция Ляпунова

. при .

, .

Предположим, это не так (траектория выходит за -окрестность)

не возрастает для всех

Возьмём

пришли к противоречию.


Теорема. Пусть для системы существует две функции , которые обладают следующими свойствами:
  1. является предельной точкой множества
  2. на

тогда точка покоя системы не устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены, но точка покоя устойчива по Ляпунову.

.

-момент, когда траектория впервые выходит на границу

возрастает. .

для

множество ограничено и замкнуто.

,

, но это невозможно, так как траектория внутри шара противоречие.


Теорема Четаева о неустойчивости[править]

Теорема. Пусть для системы существует функция заданная и непрерывно дифференцируемая в некоторой - окрестности начала координат и такая, что

1) имеет в качестве предельной точки

2) . Здесь

Тогда точка покоя системы (1) неустойчива

Доказательство. Предположим что точка покоя устойчива

Вычислим ( - в самый начальный момент растет, но положителен, следовательно производные положительны)

Начальная точка находится в

. . Функция начинает расти.

при

Следовательно тоже должно , но она ограниченна - мы получили противоречие.