Теория устойчивости

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.

Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости

Рассмотрим задачу Коши: ${\begin{matrix} {\overline{y}}^{'} = \overline{f} (t, \overline{y} (t)), t \geq t_{0}, \\ \overline{y} (t_{0}) = {\overline{y}}_{0} \end{matrix}$

Её решение $\overline{y}$ единственно и определено $\forall t > t_{0}$ . Пусть ${\overline{y}}^{*} (t)$ - решение задачи с возмущенным начальным значением: ${\begin{matrix} ({\overline{y}}^{*})^{'} = \overline{f} (t, {\overline{y}}^{*} (t)), t \geq t_{0}, \\ {\overline{y}}^{*} (t_{0}) = {\overline{y}}_{0}^{*} \end{matrix}$

Определение. Решение

\overline{y} (t)

задачи Коши называется устойчивым по Ляпунову, если

\forall ε > 0 \exists δ (ε) : 0 < δ (ε) < δ_{0}, \forall {\overline{y}}^{*} (t) | {\overline{y}}_{0}^{*} - {\overline{y}}_{0} | < δ (ε) \Rightarrow | {\overline{y}}^{*} (t) - \overline{y} (t) | < ε \forall t \geq t_{0}

Определение. Решение

\overline{y} (t)

задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует

δ_{1}

такое, что

0 < δ_{1} < δ_{0}

и

| {\overline{y}}_{0}^{*} - {\overline{y}}_{0} | < δ_{1} \Rightarrow | {\overline{y}}^{*} (t) - \overline{y} (t) | \to 0

при

t \to \infty

Точки покоя

Заметим, что погрешность $\overline{x} (t) = {\overline{y}}^{*} (t) - \overline{y} (t)$ является решением задачи Коши ${\begin{matrix} {\overline{x}}^{'} = \overline{Φ} (t, \overline{x} (t)), t \geq t_{0}, \\ \overline{x} (t_{0}) = {\overline{x}}_{0} = {\overline{y}}_{0}^{*} - {\overline{y}}_{0} \end{matrix}$ где $\overline{Φ} (t, \overline{x} (t)) = \overline{f} (t, \overline{y} (t) + \overline{x} (t)) - \overline{f} (t, \overline{y} (t))$

Невозмущенному решению соответствует точка покоя системы: $\overline{x} (t) \equiv \overline{0}$

Определение. Точка покоя

\overline{x} (t) \equiv 0

называется устойчивой по Ляпунову, если для любого

ε > 0 \exists δ (ε) : 0 < δ (ε) < δ_{0}

и для всякого решения

\overline{x} (t) | {\overline{x}}_{0} | < δ (ε) \Rightarrow | \overline{x} (t) | < ε \forall t \geq t_{0}

Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами

Исследуется устойчивость точки покоя однородной системы:

{\begin{matrix} x_{1^{'}} (t) = a_{11} x_{1} (t) + a_{12} x_{2} (t) \\ x_{2^{'}} (t) = a_{21} x_{1} (t) + a_{22} x_{2} (t) \end{matrix}

Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда

R e λ_{s} < 0

для всех собственных значений матрицы A.

В матричной форме:

${\vec{y}}^{'} = A \vec{y} + \vec{f} (t)$ , $A$ - матрица с постоянными коэффициентами.

{\begin{matrix} {\vec{x}}^{'} (t) = A \vec{x} (t) & (2.1) \\ \vec{x} (t_{0}) = {\vec{x}}_{0} & (2.2) \end{matrix}

(2.3) \vec{x} (t) = \sum_{s = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{k_{s}} z_{s l} {\vec{e}}_{s}^{(l)}; z_{s l} (t) = e^{λ_{s} t} P_{k_{s} - 1, s}^{(l - 1)}

Теорема. Точка покоя системы

(2.1)

была устойчива по Ляпунову

\Leftrightarrow

R e λ_{s} \leq 0

и

R e λ_{s} = 0

отвечали жордановым клеткам размера

k_{s} = 1

Доказательство.

(\Leftarrow)

В формуле

(2.3)

запишем

z_{s l} (t)

в виде

z_{s l} = e^{λ_{s} (t - t_{0})} Q_{k_{s} - 1, s}^{l - 1} (t)

$Q_{k_{s} - 1, s} (t) = \sum_{j = 0}^{k_{s} - 1} \frac{c_{s, j} (t - t_{0})^{j}}{j!}$ , $c_{s j} = z_{s j} (t_{0})$

\vec{x} (t) = P \vec{z}, \vec{z} (t_{0}) = P^{- 1} {\vec{x}}_{0} \Rightarrow | z (t_{0}) | \leq ‖ P^{- 1} ‖_{2} | {\vec{x}}_{0} |

$| c_{s j} | \leq ‖ P^{- 1} ‖_{2} | {\vec{x}}_{0} |$ $| Q_{k_{s} - 1, s} (t) | \leq ‖ P^{- 2} ‖_{2} | {\vec{x}}_{0} | \sum_{j = 0}^{k_{s} - 1} \frac{(t - t_{0})^{j}}{j!}$

$| x (t) | \leq \sum_{s = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{k_{s}} ‖ P^{- 1} ‖_{2} | {\vec{x}}_{0} | e^{λ_{s} (t - t_{0})} \sum_{j = 0}^{k_{s} - 1} \frac{(t - t_{0})^{j}}{j!} \cdot {\vec{e}}_{s}^{(l)}$

Пусть $R e λ_{s} \leq 0$ и если $R e λ_{s} = 0$ , то $k_{s} = 1$

$\underset{ограничена на t \geq t_{0}}{\underset{⏟}{e^{[R e λ_{s}] (t - t_{0})} P (t)}} \to [t \to \infty] 0$ , если $R e λ_{s} < 0$

Если $k_{s} = 1$ , то $\sum_{j} = c o n s t$ $| \vec{x} (t) | \leq C | {\vec{x}}_{0} |$ ; $| \vec{x} (t) | \leq ε \Leftrightarrow | {\vec{x}}_{0} | < δ (ε) = \frac{ε}{c}$

$(\Rightarrow)$ Пусть точка покоя устойчива по Ляпунову. Докажем, что тогда $R e λ_{s} \leq 0 \forall s$ и $R e λ_{s} = 0 \Rightarrow k_{s} = 1$

Предположим противное, то есть а) $R e λ_{s} > 0$ для некоторого s либо б) $\exists s : R e λ_{s} = 0, k_{s} > 1$

а) $x (t) = δ e^{λ_{s} t} {\vec{e}}_{s}^{(1)}$ решение системы $(2.1)$

$x (t_{0}) = δ e^{λ_{s} t_{0}} {\vec{e}}_{s}^{(1)} = x_{0}$

${\vec{x}}^{'} (t) = λ_{s} δ e^{λ_{s} t} {\vec{t}}_{s}^{(1)} = δ e^{λ_{s} t} A {\vec{e}}_{s}^{(1)} = A \vec{x} (t) \underset{not exactly не точно}{\underset{⏟}{e^{λ_{s} t} + e^{λ_{s} t} x}}$

$| \vec{x} (t) | = δ e^{R e λ_{s} t} | {\vec{e}}_{s}^{(1)} | \to [t \to \infty] + \infty$ Решение не устойчиво по Ляпунову $\Rightarrow$ наше предположение неверно и $\Rightarrow$ $R e λ_{s} \leq 0$

б) $P_{s} = δ t$

$\vec{x} (t) = δ t e^{λ_{s} t} {\vec{e}}_{s}^{(1)} + δ t e^{λ_{s} t} {\vec{e}}_{s}^{(2)}$ - решение задачи

$\vec{x} (t_{0}) = δ e^{λ_{s} t_{0}} {\vec{e}}_{s}^{(2)} = x_{0}$

$| \vec{x} (t) | = δ \underset{= 1}{\underset{⏟}{e^{R e λ_{s} t}}} (t {\vec{e}}_{s}^{(1)} + {\vec{e}}_{s}^{(2)}) \to [t \to \infty] + \infty$ $\Rightarrow$ предположение неверно. Теорема доказана.

Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда

R e λ_{s} < 0

для всех собственных значений матрицы A.

Простейшие типы точек покоя

{\begin{matrix} x_{1^{'}} (t) = a_{11} x_{1} (t) + a_{12} x_{2} (t) \\ x_{2^{'}} (t) = a_{21} x_{1} (t) + a_{22} x_{2} (t) \end{matrix}

$λ_{1}$ и $λ_{2}$ вещественны и различны:

$λ_{1} < λ_{2} < 0$ $\overline{x} (t) = c_{1} e^{λ_{1} t} {\overline{e}}_{1} + c_{2} e^{λ_{2} t} {\overline{e}}_{2}$ . "устойчивый узел"
$0 < λ_{1} < λ_{2}$ "неустойчивый узел"
неустойчивый узел
$λ_{1} < 0 < λ_{2}$ "седло"
седло
$λ_{1} < λ_{2} = 0$ $\overline{x} (t) = c_{1} e^{λ_{1} t} {\overline{e}}_{1} + c_{2} {\overline{e}}_{2}$ - точка покоя устойчивая
точка покоя устойчивая
$0 = λ_{1} < λ_{2}$ $\overline{x} (t) = c_{1} {\overline{e}}_{1} + c_{2} e^{λ_{2} t} {\overline{e}}_{2}$ - точка покоя неустойчива
точка покоя неустойчива

$λ_{1}$ и $λ_{2}$ комплексны и различны:

λ_{1, 2} = α \pm i β

$β \neq 0, α < 0$ $\overline{x} (t) = e^{α t} R e [c_{1} e^{i β t} {\overline{e}}_{1} + c_{2} e^{- i β t} {\overline{e}}_{1}]$ "устойчивый фокус"
устойчивый фокус
$α > 0$ "неустойчивый фокус"
неустойчивый фокус
$α = 0$ "центр" - устойчивая точка покоя
устойчивая точка покоя

$λ_{1} = λ_{2}$ - вещественны и есть 2 линейно независимых вектора:

$λ < 0$ "устойчивый звездный узел"
устойчивый звездный узел
$λ > 0$ "неустойчивый звездный узел"
неустойчивый звездный узел
$λ = 0$ покой - $A = 0$
неустойчивая точка покоя

$λ_{1} = λ_{2}$ - вещественны и есть только 1 линейно независимый вектор:

\overline{x} (t) = e^{λ_{1} t} [(c_{1} t + c_{2}) {\overline{e}}_{1} + c_{1} {\overline{e}}_{2}]^{α \pm i β}, β \neq 0

$λ < 0$ "устойчивый вырожденный узел"
устойчивый вырожденный узел
$λ > 0$ "неустойчивый вырожденный узел"
неустойчивый вырожденный узел
$λ = 0$ - $\overline{x} (t) = (c_{3} t + c_{2}) {\overline{e}}_{1} + c_{1} {\overline{e}}_{2}$ неизолированная неустойчивая точка покоя
неизолированная неустойчивая точка покоя

Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

Исследование на устойчивость по первому приближению

$\frac{d \vec{x}}{d t} = \vec{f} (t, \vec{x}) (1)$

$\vec{x} (t) \equiv \vec{o}, \vec{f} (t, \vec{0}) \equiv 0$ . $f_{1} (t, \vec{x}) = f_{i} (t, \vec{0}) + \sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} (t, \vec{0}) x_{j} + R_{i} (t, \vec{x})$ . Первое слагаемое равно нулю, второе является первым дифференциалом, каждое слагаемое равно $a_{i, j} (t)$ . Третье слагаемое есть $\bar{\bar{o}} (| x |)$

Следовательно (1) можно преобразовать к виду $\frac{d \vec{x}}{d t} = A (t) \vec{x} + \vec{R} (t, \vec{x})$ . Тогда $\frac{d \vec{x}}{d t} = A (t) \vec{x} (2)$ является системой уравнений первого приближения. Система (1) стационарна в первом приближении $\Leftrightarrow A$ не зависит от $t$ .

$| \vec{R} (t, \vec{x}) | \leq ψ (\vec{x}) | \vec{x} | \forall t \geq t_{0} (3), ψ (\vec{x}) \to 0$ при $| x | \to 0$

Теорема. Пусть система ДУ (1) стационарна в первом приближении и пусть выполнено предположение (3). Тогда

1) Если все собственные значения матрицы $A$ удовлетворяют условию $R e λ_{i} < 0$ , то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

2) Если существуют собственные значения такие что $R e λ_{i} > 0$ , то точка покоя неустойчива.

Второй метод Ляпунова

Определение. Функция

V (\overline{x}) = V (x_{1}, \dots, x_{m})

называется функцией Ляпунова системы

{\overline{x}}^{'} (t) = f (\overline{x}, t)

, если обладает следующими свойствами:

$V \in C^{1} ({\overline{V}}_{σ}), {\overline{V}}_{σ} = {| \overline{x} | \leq σ}$ - шар,
$V (\overline{x}) \geq 0 \forall x \in {\overline{V}}_{σ}$ и $V (x) = 0 \Leftrightarrow \overline{x} = \overline{0}$
$(▽ V (\overline{x}), \overline{f} (\overline{x}, t)) = \sum_{i = 1}^{m} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} (\overline{x}) f_{j} (\overline{x}, t) \leq 0 \forall x \in V_{σ} \forall t \geq t_{0}$

Теорема. Если у системы

{\overline{x}}^{'} (t) = f (\overline{x}, t)

есть функция Ляпунова, то точка покоя

\overline{x} (t) \equiv 0

устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Пусть существует функция Ляпунова

$V (\overline{x})$ . $0 < m i n_{| \overline{x} | = ε} V (x) \leq m a x_{| \overline{x} | \leq ε} V (\overline{x}) \to 0$ при $ε \to 0 \forall ε, 0 < ε < σ \to δ (ε)$ .

$m a x_{| \overline{x} | \leq δ (ε)} V (\overline{x}) < m i n_{| \overline{x} | = ε} V (\overline{x})$ , $0 < δ (ε) < ε$ .

$| {\overline{x}}_{0} | < δ (ε) \Rightarrow | \overline{x} (t) | < ε \forall t \geq t_{0} \Rightarrow \overline{x} (t) \equiv 0$ Предположим, это не так (траектория выходит за $ε$ -окрестность)

$\exists t > t_{0}$ $| \overline{x} (t) | > ε, \exists t \geq t_{0} | \overline{x} (t) | = ε$

$\exists t * = m i n {t, | \overline{x} (t) | = ε}$

$t_{0} < t < t * \Rightarrow | \overline{x} (t) | < ε, | \overline{x} (t *) | = ϵ$

$\frac{d}{d t} \overline{V} (\overline{x} (t)) = \sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} (\overline{x} (t)) \frac{x_{j}}{t} = \sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial V}{\partial x} (\overline{x} (t)) f_{j} (\overline{x} (t), t) \leq 0 \Rightarrow V (\overline{x} (t))$ не возрастает для всех $t_{0} < t < t *$

Возьмём $V (\overline{x}, t_{0})$

$m i n_{| \overline{x} | = ε} V (\overline{x}) \leq V (\overline{x} (t *)) \leq V (\overline{x} (t_{0})) \leq m a x_{| \overline{x} | \leq δ (ε)} V (\overline{x}) < m i n_{| \overline{x} = ε |} V (\overline{x})$ пришли к противоречию. $| x_{0} | < δ (ε) \Rightarrow | x (t) | < ε \forall t \geq t_{0}$

Теорема. Пусть для системы

{\overline{x}}^{'} (t) = f (\overline{x}, t)

существует две функции

V (\overline{x}), W (\overline{x})

, которые обладают следующими свойствами:

$V \in C^{1} ({\overline{V}}_{σ}), w \in C ({\overline{V}}_{σ})$
$V_{t} = {\overline{x} \in {\overline{V}}_{σ} | V (\overline{x}) > 0} \neq 0$
$\overline{x} = 0$ является предельной точкой множества $V_{t}$
$w (\overline{x}) > 0$ на $V_{t}$
$(▽ V (\overline{x}), \overline{f} (\overline{x}, t)) \geq w (\overline{x}) \forall x \in V_{t} \forall t \geq t_{0}$

тогда точка покоя системы не устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены, но точка покоя устойчива по Ляпунову.

$0 < ε_{0} < σ \exists δ_{0} = δ (ε_{0}) > 0 : | x (t_{0}) | < δ_{0} \Rightarrow | \overline{x} (t) | < ε \forall t \geq t_{0}$ .

${\overline{x}}_{0} \in V_{t}$

$V ({\overline{x}}_{0}) > 0 \Rightarrow \overline{x} (t) \in V_{t}$

$t *$ -момент, когда траектория впервые выходит на границу $V_{t}$

$t_{0} < t < t * \Rightarrow V (\overline{x} (t)) \in V_{t}$

$\frac{d}{d t} V (\overline{x} (t)) = (▽ V (\overline{x}), \overline{f} (\overline{x}, t)) \geq w (\overline{x} (t)) > 0 \Rightarrow V (\overline{x} (t))$ возрастает. $V (\overline{x} (t)) \geq V ({\overline{x}}_{0}) > 0$ .

$\overline{x} (t) \in V_{t}$ для $\forall t$

$\overline{x} (t) \in V_{{\overline{x}}_{0}} = {\overline{x} | | \overline{x} | \leq ε_{0}, V (\overline{x}) \geq V ({\overline{x}}_{0}) > 0}$

множество ограничено и замкнуто.

$m i n_{\overline{x} \in V_{{\overline{x}}_{0}}} W (x) = W_{m i n} > 0$

$\overline{x} \in V_{{\overline{x}}_{0}}$ , $\frac{d v}{d t} (\overline{x} (t)) \geq W_{m i n} > 0$

$V (\overline{x} (t)) - V (\overline{x} (t_{0})) \geq W_{m i n} > 0$

$V (\overline{x} (t)) - v (\overline{x} (t_{0})) \geq \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{W_{m i n} (t - t_{0})}}$ , но это невозможно, так как траектория внутри шара $\Rightarrow$ противоречие.

Теорема Четаева о неустойчивости

Теорема. Пусть для системы

\frac{d \vec{x}}{d t} = \vec{f} (t, \vec{x}) (1)

существует функция

V (\vec{x})

заданная и непрерывно дифференцируемая в некоторой

σ

- окрестности начала координат и такая, что

1) $V_{+} = {\vec{x} | V (\vec{x}) > 0}$ имеет в качестве предельной точки $\vec{x} = \vec{0}$

2) $(\nabla V (\vec{x}), \vec{f} (t, \vec{x})) \geq β (α) > 0 \forall \vec{x} \in V_{α}, \forall t \geq t_{0}$ . Здесь $V_{α} = {\vec{x} | V (\vec{x}) \geq α > 0}$

Тогда точка покоя системы (1) неустойчива

Доказательство. Предположим что точка покоя устойчива

\exists δ > 0 : | \vec{x} (t_{0}) | < δ \Rightarrow | \vec{x} (t) | < δ \forall t \geq t_{0}

$\vec{x} (t_{0}) \in V_{+} \vec{x} (t)$ Вычислим $\frac{d}{d t} V (\vec{x} (t)) = (\nabla V (\vec{x} (t)), \vec{f} (t, \vec{x} (t))) \geq β (α) > 0, \forall t > t_{0}$ ( $β (α) > 0$ - в самый начальный момент растет, но положителен, следовательно производные положительны)

Начальная точка находится в $V_{+}$

$V (\vec{x} (t_{0})) = α > 0$ . $\vec{x} (t_{0}) \in V_{α} \Rightarrow \vec{x} (t) \in V_{α} \forall t \geq t_{0}$ . Функция $V$ начинает расти.

$V (\vec{x} (r)) \geq V (\vec{x} (t_{0})) = α$

$V (\vec{x} (t)) = V (\vec{x} (t_{0})) \geq β (α) (t - t_{0}) \to + \infty$ при $t \to + \infty$

Следовательно $V (\vec{x} (t))$ тоже должно $\to + \infty$ , но она ограниченна - мы получили противоречие.